(SEEDUC-RJ 2015 - Banca CEPERJ) Resolvendo corretamente a equação trigonométrica 2 sen(2x) = sen (x), x ∈ [0, 2π], determina-se o conjunto solução com exatamente t elementos. O valor de t é igual a:
(Professor Docente I - Matemática - 2015 - Banca CEPERJ) Resolvendo corretamente a equação trigonométrica 2 sen(2x) = sen (x), x ∈ [0, 2π], determina-se o conjunto solução com exatamente t elementos. O valor de t é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro. Banca organizadora CEPERJ, 2015.
Além destas três soluções, temos que sen(2x) = 2.sen(x).cos(x). Aplicando na equação:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro. Banca organizadora CEPERJ, 2015.
Nesta questão sobre equações trigonométricas temos que atentar para o fato do ângulo x estar limitado no intervalo [0, 2π]. Vamos esboçar o ciclo trigonométrico.
Os ângulos x= 0, π e 2π satisfazem a equação trigonométrica 2 sen(2x) = sen (x).
x = 0 ; sen(0) = 0 ; sen(2.0) = 0
2. 0 = 0 (Satisfaz)
x = π ; sen(π) = 0 ; sen(2.π)=0
2. 0 = 0 (Satisfaz)
x = 2π ; sen(2π) = 0 ; sen(2.2π)=0
2. 0 = 0 (Satisfaz)
Além destas três soluções, temos que sen(2x) = 2.sen(x).cos(x). Aplicando na equação:
2 . 2 . sen(x) . cos(x) = sen (x)
4 . cos (x) = 1
cos (x) = 1/4
x = arccos (1/4)
No intervalo [0, 2π] o cosseno de x assume valor de 1/4 em duas ocasiões, no primeiro e quarto quadrante.
Então, são mais 2 soluções, que somadas as 3 primeiras, totalizam 5 soluções.
Alternativa correta é a letra E.
Curiosidade: não é necessário, para responder a esta questão, especificar quais são as duas soluções dadas por arccos(1/4). Basta visualizar que existem dois ângulos que satisfazem a condição dentro do intervalo [0, 2π]. Entretanto, por curiosidade e com ajuda do Excel, chegamos aos ângulos 1,318116072 radianos e 4,965069236 radianos. Em graus, eles valem aproximadamente 75,52º e 284,47°. |
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões resolvidas de trigonometria e identidades trigonométricas.
Um forte abraço e bons estudos.

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