(Professor Docente I - Matemática - 2015 - Banca CEPERJ)  Resolvendo corretamente a equação trigonométrica 2 sen(2x) = sen (x), x ∈ [0, 2π], determina-se o conjunto solução com exatamente t elementos.  O valor de t é igual a:

a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  e)  5

Solução:    questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015.

Nesta questão sobre equações trigonométricas temos que atentar para o fato do ângulo x estar limitado no intervalo  [0, 2π].  Vamos esboçar o ciclo trigonométrico.



Os ângulos x= 0, π e 2π satisfazem a equação trigonométrica 2 sen(2x) = sen (x).

x = 0  ;   sen(0) = 0 ; sen(2.0) = 0
2. 0 = 0  (Satisfaz)

x = π ;    sen(π) = 0 ; sen(2.π)=0
2. 0 = 0  (Satisfaz)

x = 2π ;   sen(2π) = 0 ; sen(2.2π)=0
2. 0 = 0  (Satisfaz)


Além destas três soluções, temos que sen(2x) = 2.sen(x).cos(x).  Aplicando na equação:

2 .  2 . sen(x) . cos(x) = sen (x)
4 . cos (x) = 1
cos (x) = 1/4
x = arccos (1/4)

No intervalo [0, 2π] o cosseno de x assume valor de 1/4 em duas ocasiões, no primeiro e quarto quadrante.  






Então, são mais 2 soluções, que somadas as 3 primeiras, totalizam 5 soluções.

Alternativa correta é a letra E.

Curiosidade:  não é necessário, para responder a esta questão, especificar quais são as duas soluções dadas por arccos(1/4).  Basta visualizar que existem dois ângulos que satisfazem a condição dentro do intervalo [0, 2π]. Entretanto, por curiosidade e com ajuda do Excel, chegamos aos ângulos 1,318116072 radianos e 4,965069236 radianos.  Em graus, eles valem aproximadamente 75,52º e 284,47°. 


Aproveite e continue praticando com uma lista de questões resolvidas de trigonometria e identidades trigonométricas.

Um forte abraço e bons estudos.