(UECE 2023.2) Na trigonometria circular usual, considere os valores dos arcos x para os quais existem e estão bem definidas a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante. Em relação à equação trigonométrica tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x, é correto afirmar que

A) possui uma única solução real.

B) possui exatamente duas soluções reais.

C) possui infinitas soluções reais.

D) não possui solução real.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.

Analisando esta equação, podemos perceber o seguinte:

tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x

sen²x + cos²x  =    1    +    1   
cos²x    sen²x      cos²x   sen²x

Repare que não podemos ter senx = 0 e nem o cosx = 0, pois teremos uma divisão por zero.  Vamos guardar essa informação assim por enquanto, sem nos preocupar em listar quais são estes arcos.

Das identidades trigonométricas, sabemos que

sec²x  = 1 + tg²x
cossec²x = 1 + cotg²x

Vamos aplicá-las no segundo membro da equação

tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x
tg²x + cotg²x = 1 + tg²x + 1 + cotg²x
tg²x + cotg²x = tg²x + cotg²x + 2

Neste ponto do desenvolvimento, já é possível notar que a equação trigonométrica não possui solução real.

tg²x + cotg²x - tg²x - cotg²x = 2
0 = 2  [Falso] 

Alternativa correta é a letra D) não possui solução real.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.