(UECE 2023.2) Na trigonometria circular usual, considere os valores dos arcos x para os quais existem e estão bem definidas a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante. Em relação à equação trigonométrica tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x, é correto afirmar que
(UECE 2023.2) Na trigonometria circular usual, considere os valores dos arcos x para os quais existem e estão bem definidas a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante. Em relação à equação trigonométrica tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x, é correto afirmar que
A) possui uma única solução real.
B) possui exatamente duas soluções reais.
C) possui infinitas soluções reais.
D) não possui solução real.
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.
Analisando esta equação, podemos perceber o seguinte:
tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x
sen²x + cos²x = 1 + 1
cos²x sen²x cos²x sen²x
cos²x sen²x cos²x sen²x
Repare que não podemos ter senx = 0 e nem o cosx = 0, pois teremos uma divisão por zero. Vamos guardar essa informação assim por enquanto, sem nos preocupar em listar quais são estes arcos.
Das identidades trigonométricas, sabemos que
sec²x = 1 + tg²x
cossec²x = 1 + cotg²x
Vamos aplicá-las no segundo membro da equação
tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x
tg²x + cotg²x = 1 + tg²x + 1 + cotg²x
tg²x + cotg²x = tg²x + cotg²x + 2
Neste ponto do desenvolvimento, já é possível notar que a equação trigonométrica não possui solução real.
tg²x + cotg²x - tg²x - cotg²x = 2
0 = 2 [Falso]
Alternativa correta é a letra D) não possui solução real.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.
Um forte abraço e bons estudos.