(VUNESP 2024) Seja a equação quadrática nx² – x + 1 = 0, em que n é uma constante real, com duas raízes reais positivas e distintas. Assim, os valores de n que satisfazem essas condições são tais que:

a) 0 < n < 1/4
b) n < 1/4
c) -1/4 < n < 1/4
d) n > 1/4
e) -1/4 < n < 0

Solução: questão de matemática do Vestibular UNESP 2024, prova aplicada no dia 15/11/2023.

Uma questão muito interessante sobre equação do segundo grau, inicialmente, vamos identificar os coeficientes reais da equação fornecida:

a = n
b = -1
c = 1

Da definição de equação quadrática, ou equação do segundo grau, sabemos que o coeficiente a tem que ser diferente de 0, ou seja, n ≠ 0, o que já nos permite eliminar as alternativas (b) e (c).  

Sabemos também, que uma equação quadrática terá duas raízes reais e distintas, quando

Δ > 0
b² - 4ac > 0
(-1)² - 4(n)(1) > 0
1 - 4n > 0
-4n > -1
4n < 1
n < 1/4

* Além disso, neste intervalo, n não pode valer 0.

Também podemos eliminar a letra (d), nos restando apenas as alternativas:

a) 0 < n < 1/4
e) -1/4 < n < 0

Além disso, o enunciado estabelece uma regra adicional: a equação quadrática nx² – x + 1 = 0 precisa ter duas raízes reais distintas e elas precisam ser também positivas.

Analisando a soma S e o produto P das raízes de nx² – x + 1 = 0, temos o seguinte:

S = -b/a = 1/n
P = c/a = 1/n

Nessa equação, sejam x1 e x2 as suas raízes distintas, temos que a soma das raízes é igual ao produto das raízes que é igual a 1/n, vamos equacionar isso:

x1+x2 = x1·x2 = 1/n   (Equação I)

Nos comentários a seguir, atenção para não confundir a equação quadrática dada no enunciado com a equação acima, a qual vamos chamar de Equação I.

Agora, vamos analisar o seguinte:

→ Quando n < 0, então 1/n assume um valor negativo, nos indicando que a soma x1+x2 é igual ao produto x1·x2 e que eles são iguais a um valor negativo.  Isso não será possível se as raízes x1 e x2 forem positivas.  Sabemos que quando somamos dois valores positivos, temos um valor positivo.  Do mesmo modo, quando multiplicamos dois valores positivos, temos um valor positivo.    

Aqui, já podemos eliminar a possibilidade de n ser menor do que 0.  Logo, podemos eliminar a alternativa (e), nos restaria apenas a letra a) 0 < n < 1/4.  

Antes de marcar letra (a), vamos analisar o que acontece quando n é maior do que 0.

→ Quando n > 0, então 1/n assume um valor positivo, nos indicando que a soma x1+x2 é igual ao produto x1·x2 e que eles são iguais a um valor positivo.  Nesta equação, isso só será possível se x1 e x2 forem ambas positivas, você pode conferir isso no quadro a seguir:

Quando n > 0,
  • as duas raízes podem ser negativas?  O produto entre elas será positivo, mas a soma será negativa, então não vai satisfazer a equação I.
  • uma raiz pode ser positiva e a outra negativa?  A soma até poderá ser positiva, em alguns casos (por exemplo: x1 = -1 e x2 = 8 resultariam em soma = 7), mas o produto entre elas será negativo, então não vai satisfazer a equação I.
  • as duas raízes podem ser positivas?  Teremos soma e produto positivos, o único caso que vai satisfazer a equação I.

Concluindo, já sabemos que quando os valores de n estão no intervalo n < 1/4 , excluindo n = 0, a equação quadrática nx² – x + 1 = 0 possui duas raízes reais diferentes.  Além disso, para que as duas raízes dessa equação sejam positivas, precisamos eliminar o intervalo n < 0.    Portanto, o intervalo que satisfaz as condições fornecidas no enunciado é:

0 < n < 1/4

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Vestibular da UNESP.

Um forte abraço e bons estudos.