(CEDERJ 2024.1) As constantes reais a e b são tais que o resto da divisão do polinômio p(x) = x3 + ax2 + x + b pelo polinômio q(x) = x2+1 é o número real 1 (um) e p(1) = 4. 

A relação entre as constantes a e b é: 

(A) a é o triplo de b.
(B) b é o triplo de a.
(C) a é a metade de b.
(D) b é a metade de a.

Solução: questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2024.1,  prova aplicada em 17/12/2023.

p(1) = 4
13 + a·12 + 1 + b = 4
1 + a + 1 + b = 4
a + b + 2 = 4
a + b = 2  (Equação I)

Agora, vamos dividir p(x) por q(x)

x3+ax2+x+b |x2+1
-x3-x
     ax2+b
     -ax2-a
         -a + b		 |x + a


-a + b é o resto da divisão de p(x) por q(x), o enunciado estabeleceu que esse resto vale 1, logo

-a + b = 1 (Equação II)

Agora, precisamos resolver o seguinte sistema linear:

a + b = 2
-a + b = 1

Vamos somar essas duas equações:

2b = 3
b = 3/2

Aplicando este valor na primeira equação:

a + (3/2) = 2
a = 2 - (3/2)
a = 1/2

A relação entre as constantes a e b é: 

(B) b é o triplo de a.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do CEDERJ.

Um forte abraço e bons estudos.