(EEAR CFS 1/2025) O valor da expressão (-i)^9 + i^71 - i^17 é _____ .

(EEAR CFS 1/2025) O valor da expressão (-i)⁹ + i⁷¹ - i¹⁷ é _____ . 

a) - 3i
b) - i
c) i
d) 1

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Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025.  Prova aplicada em 14/07/2024.

Em primeiro lugar, vamos observar o seguinte:

i0 = 1 i¹ = i i² = -1 i³ = i²·i¹ = -1·i = -i i4  = i²·i² = (-1) · (-1) = 1 Se continuarmos calculando i5, i6 e assim sucessivamente, vamos visualizar que as potências de base i vão se repetindo de 4 em 4.  Além disso, podemos perceber que as potências de base i cujo expoente é um múltiplo de 4 valem exatamente 1.  Por exemplo,  i4 = 1 i8 = 1 i12 = 1  e assim sucessivamente.

Agora, vamos resolver a expressão por partes

(-i)⁹ = (-i)·(-i)·(-i)·(-i)·(-i)·(-i)·(-i)·(-i)·(-i) = - i⁹ = -(i⁹) = -(i⁸·i) = -(1·i ) = - i

Ou também 

(-i)⁹ = (-1·i)⁹ = (-1)⁹·(i)⁹  = -1(i⁸·i) = -1(1·i) = -i

i⁷¹ = i⁶⁸·i³ = 1·(- i) = -i

No cálculo acima, 71 foi dividido por 4, o quociente é igual a 17 e o resto é igual a 3.  O resultado de 4 x 17 = 68.  Assim, podemos escrever 71 = 4 x 17 + 3 =  68 + 3.

Da disciplina Propriedades de Potenciação (Multiplicação de potências de mesma base), quando multiplicamos potências de mesma base, então nós repetimos a base e somamos os expoentes.

i^a · i^b = i ^a+b

Assim, temos que

i⁶⁸·i³ = i⁶⁸⁺³ = i⁷¹ 

Vamos usar essa mesma propriedade no cálculo a seguir.

-i¹⁷ = -(i¹⁷) = -(i¹⁶·i) = -(1·i) = -i

Finalmente, temos que

(-i)⁹ + i⁷¹ - i¹⁷ 

-i -i -i

-3i

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.