(ESA 2025) Os determinantes são ferramentas com aplicação em diversas áreas de engenharia. Em engenharia de controle, é comum modelar sistemas de controle por meio de matrizes paramétricas. Os engenheiros podem avaliar o comportamento do sistema pelas raízes do polinômio dado pela igualdade det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, em que 𝐴 é a matriz com os parâmetros do sistema; 𝜆 é a variável a ser analisada, chamada de autovalores; e 𝐼 a matriz identidade com a mesma dimensão de 𝐴. Dada a equação abaixo, podemos afirmar que os valores de 𝜆 que satisfazem a igualdade são:

equação det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

Ⓐ 𝜆1 = 1 + 2𝑖 ; 𝜆2 = 1 − 2𝑖
Ⓑ 𝜆1 = −2 ; 𝜆2 = −2
Ⓒ 𝜆1 = 1 ; 𝜆2 = 3
Ⓓ 𝜆1 = 2 ; 𝜆2 = 2
Ⓔ 𝜆1 = 1 ; 𝜆2 = 1


Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024.

O objetivo da questão é encontrar os valores de 𝜆 que satisfazem a equação do enunciado, em primeiro lugar, vamos calcular a diferença entre as matrizes dessa equação:

   
    2 - 𝜆     1 - 0   
 1 - 0      2 - 𝜆
   

        
 2 - 𝜆      1   
      1         2 - 𝜆    

A seguir, vamos resolver a equação:

2-𝜆       1
  1       2-𝜆
= 0

Calculando o determinante da matriz e igualando a zero:

(2-𝜆)(2-𝜆) - 1·1 = 0

(2 - 𝜆)² - 1² = 0


Podemos resolver essa equação do segundo grau de várias formas.  Vamos usar o produto notável:  

a² - b² = (a + b)(a  b)

Neste caso, a = 2 - 𝜆 e b = 1


(2 - 𝜆 + 1)(2 - 𝜆  1) = 0
(- 𝜆 + 3)(- 𝜆 + 1) = 0

Para que o primeiro membro da equação acima seja igual a zero, é necessário que (- 𝜆 + 3) seja igual a zero ou então (- 𝜆 + 1) seja igual a zero.  Portanto, vamos resolver essas duas equações.

(- 𝜆 + 3) = 0 ; (- 𝜆 + 1) = 0
𝜆 = 3 ;  𝜆 = 1

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.