(ENEM 2024) A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos
de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais
equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses
três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram
conseguidos três locais para a construção dos postos de
saúde que apresentam as características desejadas, e
que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o
ponto H representa o local onde está construído o hospital;
os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro
pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos
postos de saúde, é um valor entre
A) 2 e 3.
B) 4 e 5.
C) 5 e 6.
D) 7 e 8.
E) 8 e 9.
Solução: uma questão de matemática (geometria plana) com uma contextualização bem interessante do ENEM 2024, prova aplicada em 10/11/2024.
Neste problema, podemos notar que estamos diante de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 km. Os vértices deste triângulo equilátero são os três postos de saúde.
Em um triângulo, o circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes) é equidistante dos vértices. O hospital, ponto H, está no circuncentro deste triângulo, pois de acordo com o enunciado: "esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais."
Num triângulo equilátero, circuncentro, ortocentro, incentro e baricentro coincidem no mesmo ponto.
Nesta resolução, será muito útil a seguinte propriedade do baricentro (ponto de encontro das medianas) de um triângulo:
O baricentro divide cada mediana de um triângulo na proporção 2:1. Isso significa que a distância de um vértice P ao baricentro é o dobro da distância do baricentro ao ponto médio do lado oposto ao vértice P.
Na figura a seguir, o segmento de reta P1M é altura, mediana e bissetriz em relação ao lado P2P3. No triângulo equilátero, os três ângulos internos são iguais a 60°.
Podemos obter a altura h utilizando relações trigonométricas no triângulo retângulo P1P3M.
tg 60° = h/5
√3 = h/5
h = 5√3
O valor de h também pode ser obtido usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo P1P3M.
h² + 5² = 10²
h² = 100 - 25
h² = 75
h² = 3·5·5
h = 5√3
O que nós queremos é a distância do ponto H até os vértices, ou seja, nós queremos 2/3 de h:
(2/3)(5√3)
(10√3)/3 km
Sabemos que √3 ≅ 1,732.
10 × 1,8 = 18, dividindo 18 por 3 o resultado é 6.
10 × 1,5 = 15, dividindo 15 por 3 o resultado é 5.
Portanto, (10√3)/3 é um valor entre 5 e 6.
Alternativa correta é a letra (C).
