(ENEM 2024) Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura T, em grau Celsius, da caneca, em função do tempo t, em minuto, pode ser modelada pela função T(t) = a + 80 b^t , representada no gráfico a seguir.

Questão sobre gráfico de função exponencial do ENEM 2024.

Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.

Enunciado da Questão

Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura T, em grau Celsius, da caneca, em função do tempo t, em minuto, pode ser modelada pela função T(t) = a + 80 b^t , representada no gráfico a seguir.

Os valores das constantes a e b são

---

Fonte: questão de matemática do ENEM 2024 prova aplicada em 10/11/2024.

Resolução Comentada

Uma questão interessante sobre função exponencial onde é dado um gráfico e precisamos obter o valor das constantes a e b da função T(t) = a + 80 b^t .

Analisando o gráfico, quanto t = 0, a temperatura T = 100 °C.

T(t) = a + 80 b^t
T(0) = a + 80 b⁰ = 100
a + 80 · 1 = 100
a + 80 = 100
a = 100 – 80
a = 20

Atualizando: T(t) = 20 + 80 b^t

Analisando o gráfico, quando t = 20, a temperatura T = 40 °C.

T(t) = 20 + 80 b^t
T(20) = 20 + 80 b²⁰ = 40
80 b²⁰ = 40 – 20
80 b²⁰ = 20
b²⁰ = 20/80
b²⁰ = 1/4
b₁ = ²⁰√(1/4) ; b₂ = –  ²⁰√(1/4)

Neste caso, vamos ficar apenas com a raiz real positiva, devido a definição de função exponencial.  Na função T(t) = a + 80 b^t  , se b for um valor real negativo, quando t = 1/2, teremos a raiz quadrada de um número negativo, e este número não é real.  Podemos notar que o gráfico apresentado nos indica que quando t=1/2, a temperatura é um número real perto de 100°C.  Portanto, b = ²⁰√(1/4) .

Sabemos que 1/4 = (1/2)(1/2) = (0,5)(0,5) = (0,5)²

b = ²⁰√(1/4)

b = ²⁰√(0,5)²

Expoente racional fracionário

Sendo a um número real positivo (a > 0) e m e n números inteiros e positivos, define-se:

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

\( a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \)

Fonte: Giovanni, J. R., Bonjorno, J. R., & Giovanni Jr., J. R. (1994). Matemática Fundamental, 2º Grau - Volume Único, página 110. Editora FTD: São Paulo.

b = ²⁰√(0,5)² = (0,5)^(2/20) = (0,5)^(1/10)

Resposta Correta

O valor de a = 20 e b = (0,5)^(1/10).  Alternativa correta é a letra (C).

Uma observação e mais uma questão similar para praticar

A equação b²⁰ = 1/4 não é uma equação exponencial. Vamos trocar o b por x, apenas para reforçar:  x²⁰ = 1/4 é uma equação polinomial de grau 20, logo possui 20 raízes complexas, contando multiplicidades.  As duas raízes encontradas são apenas as que nos interessavam para este problema.  Eliminamos a negativa, pois conforme comentado anteriormente, não satisfaz o contexto do problema.  Se quiser praticar mais esse tipo de questão, poderá gostar de uma questão do Vestibular UNESP 2024 que também apresenta um gráfico de função exponencial.  É uma questão muito boa para aproveitar esse momento e praticar mais.

➡️ (VUNESP 2024) Três insetos da mesma espécie foram introduzidos em um ambiente no instante zero.

Mais Questões sobre Função Exponencial do ENEM Resolvidas

Se você gostou dessa resolução, então aproveite para praticar com mais questões de funções exponenciais do ENEM, todas são provenientes de provas anteriores e estão resolvidas passo a passo aqui no blog. A lista inclui exercícios com diferentes níveis de dificuldade.

➡️ Confira mais questões sobre função exponencial do ENEM com resolução

Mais Questões do ENEM resolvidas

Para ampliar seus estudos, confira a relação completa com questões de matemática do ENEM resolvidas, cobrindo diversos temas de matemática:

➕ Explorar todas as questões resolvidas de matemática do ENEM

Um forte abraço e bons estudos.