Questão sobre maximização de receita em uma apresentação musical.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UECE.
Enunciado da Questão
Atualmente, no Teatro São Jorge, um grupo musical se apresenta diariamente. A presença do público se dá em função, principalmente, do preço do ingresso. A capacidade máxima do teatro é de 800 pessoas e quando o preço do ingresso é R$ 90,00, o comparecimento, em média é de 300 pessoas. Dados estatísticos indicam que a cada R$ 10,00 de redução no preço do ingresso verifica-se, em média, um aumento de 100 pessoas no público presente. Com estes dados, conclui-se que a receita máxima, em média, obtida em uma apresentação musical é de
A) R$ 32 000,00.
B) R$ 36 000,00.
C) R$ 35 000,00.
D) R$ 38 000,00.
Resolução Comentada
Vamos resolver passo a passo este problema que envolve coordenadas do vértice da parábola. Questões de função quadrática (problemas de máximo e mínimo) aparecem com frequência em provas de vestibulares e concursos.
A receita R do evento é igual a ao preço p do ingresso vezes a quantidade q de pessoas no público presente. Equacionando:
R = p × q
O enunciado afirma que quando o preço do ingresso é R$ 90,00, o comparecimento, em média é de 300 pessoas. Neste caso, por exemplo, a receita é de R = p × q = 90 × 300 = R$ 27.000,00.
O enunciado também afirma que a cada R$ 10,00 de redução no preço do ingresso verifica-se, em média, um aumento de 100 pessoas no público presente. Logo, podemos estabelecer que
p(x) = 90 – 10x q(x) = 300 + 100x
- x = 1;
- p(1) = 90 – 10×1 = 90 – 10 = 80;
- q(1) = 300 + 100×1 = 300 + 100 = 400;
- Quando o preço é 80 reais, o público é de 400 pessoas.
- x = 2;
- p(2) = 90 – 10×2 = 90 – 20 = 70;
- q(2) = 300 + 100×2 = 300 + 200 = 500;
- Quando o preço é 70 reais, o público é de 500 pessoas.
E assim sucessivamente.
Deste modo, podemos escrever R(x) da seguinte forma:
R(x) = p(x) · q(x)
R(x) = (90 – 10x) (300 + 100x)
R(x) = 27 000 + 9 000x –3 000x –1 000x²
R(x) = –1 000x² + 6 000x + 27 000
O gráfico da receita R(x) é uma parábola com a sua concavidade voltada para baixo (formato de ∩), isto porque seu coeficiente a, que vale –1 000, é um valor negativo. Deste modo, a receita tem um ponto de máximo no vértice da parábola. Vamos encontrar Xv, a coordenada x do vértice dessa parábola a seguir:
Xv = –b/2a
- Coeficiente a = –1 000;
- Coeficiente b = 6 000.
Xv = –b/2a = –6 000/[2·(–1 000)] = –6 000/ –2 000 = 3
Quando x = 3, a receita R(3) é máxima. Isto quer dizer que
- O preço do ingresso é p(3) = 90 – 10·3 = 90 – 30 = R$ 60,00
- A quantidade de pessoas é q(3) = 300 + 100·3 = 300 + 300 = 600
Finalmente, podemos calcular essa receita máxima de duas formas: calculando R(3), ou simplesmente multiplicando o preço de R$ 60,00 pela quantidade de 600 pessoas que resulta em R$ 36 000,00.
Com estes dados, conclui-se que a receita máxima, em média, obtida em uma apresentação musical é de
R$ 36 000,00 .
Resposta Correta
B) R$ 36 000,00.
Curiosidade: calculando R(3).
R(x) = –1 000x² + 6 000x + 27 000
R(3) = –1 000(3)² + 6 000(3) + 27 000
R(3) = –9 000 + 18 000 + 27 000
R(3) = 36 000 ✅
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