Problema de análise combinatória onde dez casais decidiram constituir uma diretoria com três cargos.

Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.

Enunciado da Questão

Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.

Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?

(A) 10 × 9 × 8
(B) 20 × 18 × 16
(C) 20 × 19 × 18
(D) 10 × 9 × 8 × 2
(E) 20 × 18 × 16 × 2

Fonte: questão de matemática do ENEM 2025 — 2º Dia, Caderno 7 (Azul), Aplicação Regular em 16 de novembro de 2025.

Resolução Comentada

Neste problema com dez casais, temos um total de 10 × 2 = 20 pessoas.

Inicialmente, para a vaga de presidente, temos um total de 20 pessoas possíveis.

Para a vaga de secretário, temos um total de 20 − 2 = 18 pessoas possíveis.

Duas pessoas foram excluídas porque uma já está na presidência e a outra é o seu par, que não poderá mais participar como secretário e nem como tesoureiro. Em linha com este comando do enunciado "no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria."

É possível exemplificar da seguinte forma, para presidente existem 20 possibilidades. Imaginando que existe o casal Ana e Beto, e fixando por exemplo Ana como a presidente desse grupo, então nem um deles poderá estar na vaga de secretário (e nem na vaga de tesoureiro). Neste caso, o total de possibilidades para o cargo de secretário é 20 menos eles dois, que dá 18.

Para a vaga de tesoureiro, temos um total de 18 − 2 = 16 possibilidades, usando o mesmo raciocínio acima.

E podemos seguir com este exemplo para ilustrar: Ana é a presidente, e agora, por exemplo, do casal Carlos e Dalva, o Carlos foi fixado como secretário. Neste caso, ao calcular o total de possiblidades para o cargo de tesoureiro, temos que excluir das 20 pessoas, a Ana, o Beto, o Carlos e a Dalva. Ou seja, 20 − 4 = 16 possibilidades.

Finalmente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, a quantidade de diretorias diferentes que podem ser constituídas por esses 10 casais é igual a 20 × 18 × 16 .

Resposta Correta

(B) 20 × 18 × 16

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Um forte abraço e bons estudos.