Confira a seguir o enunciado e a resolução desta questão sobre equação do segundo grau da UECE 2026.1.
Enunciado da Questão
Se p e q são números distintos que satisfazem a equação z² – 2z + 2 = 0, então p² + q² é igual a
A) –2.
B) –1.
C) 0.
D) 2.
Resolução Comentada
Para resolver esse problema, podemos trabalhar com o seguinte produto notável.
(p + q)² = p² + 2pq + q²
Isolando p² + q².
p² + q² = (p + q)² – 2pq
Vamos precisar da soma das raízes (p + q) e também do produto das raízes (p × q). Podemos utilizar as relações de Girard para equações do segundo grau.
Soma das raízes: p + q = –b/a
Produto das raízes: p × q = c/a
Na equação do segundo grau: z² – 2z + 2 = 0, vamos identificar a seguir os coeficientes a, b e c.
- a = 1;
- b = –2;
- c = 2;
Soma das raízes
p + q = –b/a = –(–2)/1 = 2
Produto das raízes
p × q = c/a = 2/1 = 2
Finalmente, calculamos p² + q².
p² + q² = (p + q)² – 2pq
p² + q² = (2)² – 2(2)
p² + q² = 4 – 4
p² + q² = 0
Resposta Correta
C) 0
Encontrar as raízes da equação do segundo grau
Uma outra possibilidade de resolução, que podemos fazer como exercício, é encontrar as raízes dessa equação do segundo grau.
z² – 2z + 2 = 0
z² – 2z = – 2
z² – 2z + 1 = – 2 + 1
(z – 1)² = – 1
z – 1 = ± √–1
z – 1 = ± i
z = 1 ± i
z' = 1 + i ; z" = 1 – i
Considerando p = 1 + i e q = 1 – i, vamos aos cálculos de p² e q².
Cálculo de p².
(1 + i)² = 1² + 2×1×i + i² = 1 + 2i – 1 = 2i
Cálculo de q².
(1 – i)² = 1² – 2×1×i + i² = 1 – 2i – 1 = – 2i
Agora é só somar p² + q².
p² + q² = 2i + (– 2i) = 0
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Um forte abraço e bons estudos.
