Questão de análise combinatória (combinação simples) em uma distribuição de presentes entre três filhos.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.
De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
(A) 36
(B) 53
(C) 300
(D) 360
(E) 560
Resolução Comentada
Neste problema de análise combinatória, é necessário atentar para as restrições do enunciado durante a contagem. A seguir, vamos destacá-las:
Identificação dos Dados e Restrições
- Total de Presentes: 8 presentes diferentes.
- Presentes Especiais: Bicicleta e Celular.
- Filhos e Recebimento: 3 filhos: Mais Velho, Do Meio e Mais Novo.
- Quotas de Presentes: Mais Velho recebe 3; Mais Novo recebe 3; Do Meio recebe 2. (Total distribuído: 3 + 3 + 2 = 8 presentes).
- Restrição Crítica: Mais Velho deve ganhar OU a Bicicleta OU o Celular, mas nunca os dois.
Resolvendo o problema em dois casos
Devido à restrição do filho mais velho, podemos dividir o problema em dois casos:
- Caso I: Mais Velho recebe a bicicleta e não recebe o celular.
- Caso II: Mais Velho recebe o celular e não recebe a bicicleta.
O número total de maneiras distintas será a soma das possibilidades dos dois casos:
Total Geral = Total Caso I + Total Caso II
Obs: veremos que as quantidades encontradas nos dois casos são iguais.
Cálculo do Caso I (Mais Velho recebe a bicicleta e não recebe o celular)
O mais velho recebe a bicicleta, não recebe o celular e precisa completar mais 2 presentes, dentre os 6 presentes que sobraram (isto é, os 8 totais menos a bicicleta e o celular). As escolhas possíveis são:
C6, 2 = (6!) / [2! · (6-2)!] = (6 · 5 · 4!) / (2 · 1 · 4!) = 15
🔍 Por que usar combinação?
Estamos usando combinação pois quando ele recebe, por exemplo, (bicicleta + carrinho + pipa), é o mesmo que receber (pipa + carrinho + bicicleta). A ordem não importa, neste caso o problema é de combinação.
Relembrando a fórmula da combinação de n elementos tomados p a p.
C n,p = (n!) / [p! · (n-p)!]
Após o Mais Velho receber 3 presentes, restam 8 - 3 = 5 presentes no total. Assim, o Mais Novo tem um total de C5,3 = 10 possibilidades.
E finalmente para o filho Do Meio, restam 5 - 3 = 2, e ele tem um total de C2,2 = 1 possibilidade.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC), multiplicamos essas possibilidades:
Total Caso I = 15 x 10 x 1 = 150
Cálculo do Caso II (Mais Velho recebe o celular e não recebe a bicicleta)
O cálculo deste caso é similar ao anterior, novamente vamos encontrar 150, o que já nos permite identificar a letra (C) como alternativa correta.
Neste caso, o Mais Velho ganha o celular ( e não ganha a bicicleta) e recebe dois dos outros 6 presentes, o que totaliza C6,2 = 15. Novamente, para o Mais Novo haverá C5,3 = 10 possibilidades. Finalmente, o Do Meio tem C2,2 = 1. Assim, mais uma vez, o total será
Total Caso II = 15 x 10 x 1 = 150
Cálculo do Total Geral
Total Geral = Total Caso I + Total Caso II
Total Geral = 150 + 150 = 300
Resposta Correta
(C) 300
Lista de Exercícios com Questões de Análise Combinatória do ENEM Resolvidas
Se você gostou dessa resolução, então aproveite para praticar com mais questões de análise combinatória do ENEM, todas são provenientes de provas anteriores e estão resolvidas passo a passo aqui no blog. A lista inclui exercícios com diferentes níveis de dificuldade.
➡️ Questões Resolvidas de Análise Combinatória do ENEM
Mais Questões do ENEM resolvidas
Para ampliar seus estudos, confira a relação completa com questões de matemática do ENEM resolvidas, cobrindo diversos temas de matemática:
➕ Explorar todas as questões resolvidas de matemática do ENEM
Um forte abraço e bons estudos.
