Questão de geometria com hexágono regular, triângulo equilátero e dodecágono côncavo equilátero.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UERJ.
Enunciado da Questão
A partir do hexágono regular ABCDEF, foi construído o dodecágono côncavo equilátero AIBJCKDLEGFH, formado pela união dos triângulos equiláteros ACE e BDF, com ângulos internos  = B̂ = Ĉ = D̂ = Ê = F̂ = 60°.
Se a área do hexágono mede 24√3 cm², a área do polígono côncavo, em cm², é igual a:
(A) 10√3 (B) 12√3 (C) 15√3 (D) 16√3
Resolução Comentada
Uma questão de geometria muito interessante, vamos iniciar analisando esse trecho do enunciado: "dodecágono côncavo equilátero". Todos os seus lados são iguais, vamos considerar que eles medem 'a'. Além disso, o hexágono regular ABCDEF possui área igual a 24√3 cm², vamos utilizá-la para encontrar a medida de seu lado.
Sabemos que a área do hexágono regular de lado L é igual a seis vezes a área do triângulo equilátero de lado L.
24√3 = 6 · (L² √3)/4
24 = 3 · (L² )/2
L² = (24 · 2)/3
L² = 16
L = 4 cm
Os seis triângulos brancos que estão externos ao dodecágono e internos ao hexágono regular ABCDEF são congruentes. Os ângulos internos do hexágono regular medem 120 graus. Na figura a seguir, foi feito o preenchimento apenas para o triângulo EFG, que é um triângulo isósceles.
A área do dodecágono será calculada por meio da área do hexágono ABCDEF menos seis vezes a área do triângulo EFG. No próximo passo, vamos calcular a área de EFG, utilizando a figura a seguir para montar as contas.
tg 30° = (cateto oposto)/(cateto adjacente) = h / 2
(√3)/3 = h / 2
h = 2(√3)/3
Área EFG = (base x altura)/2
Área EFG = 4h/2
Área EFG = 2h
Área EFG = 2 · 2(√3)/3
Área EFG = 4(√3)/3
Finalmente,
Área do dodecágono = (área do hexágono regular ABCDEF) – 6 x (área EFG)
24√3 – 6 · 4(√3)/3
24√3 – 8√3
16√3 cm²
Resposta Correta
A área do polígono côncavo, em cm², é igual a:
(D) 16√3
Curiosidade: no dodecágono deste problema, é possível visualizar 12 triângulos equiláteros. Eles foram ilustrados com os números de 1 até 12 na figura a seguir. O hexágono GHIJKL também é um hexágono regular. Podemos dividir esse hexágono em 6 triângulos equiláteros e rotacionar cada um deles 180 graus pra fora, mantendo fixos os lados do hexágono. Com a figura, é possível mentalizar os movimentos: 1 para 7; 2 para 8; 3 para 9; etc.
Assim, também é possível encontrar a área deste dodecágono calculando 12 × [a²(√3)/4].
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