(UERJ 2027) Considere um quadrado com vários quadrados desenhados em seu interior. Sabe-se que uma partícula pode se deslocar sobre os lados desses quadrados em apenas dois sentidos: sul (S) ou leste (L). No esquema a seguir, está destacada uma possível trajetória dessa partícula de A até B.

Problema de análise combinatória cujo objetivo é encontrar o número total de trajetórias distintas para se deslocar de A até B.

Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UERJ.

Enunciado da Questão

Considere um quadrado com vários quadrados desenhados em seu interior. Sabe-se que uma partícula pode se deslocar sobre os lados desses quadrados em apenas dois sentidos: sul (S) ou leste (L). No esquema a seguir, está destacada uma possível trajetória dessa partícula de A até B.

O número total de trajetórias distintas que essa partícula pode fazer para se deslocar de A até B é igual a:

(A) 16
(B) 18
(C) 20
(D) 22

---

Fonte: questão de matemática do Vestibular UERJ 2027 (1º Exame de Qualificação), prova aplicada em 07/06/2026.

Resolução Comentada

Neste problema, a partícula se desloca apenas nos sentidos sul (S) ou leste (L).  Ao analisar o percurso de A até B, percebemos que a partícula precisa completar um total de 3 deslocamentos para Sul (3 S's) e 3 deslocamentos para Leste (3 L's). O que muda é apenas a ordem desses movimentos.

A própria figura do enunciado nos dá um exemplo (SLLSSL). Outros exemplos possíveis são:

• SSSLLL
• LLLSSS
• LSLSLS

Todos os exemplos listados possuem um total de 3 S e 3 L, mas em ordens diferentes. Para encontrar o número total de trajetórias possíveis, utilizaremos a fórmula da permutação com repetição.

P_n^{(a, b)} = n! / (a! ⋅ b!)

Onde:

• n = 6 (total de deslocamentos);
• a = 3 (são as três repetições de S);
• b = 3 (são as três repetições de L).

Substituindo os valores na fórmula, temos:

P₆^{(3, 3)} = 6! / (3! ⋅ 3!)

P₆^{(3, 3)} = (6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!) / (3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 3!)

P₆^{(3, 3)} = (6 ⋅ 5 ⋅ 4 ) / (6)

P₆^{(3, 3)} = 20

O número total de trajetórias distintas que a partícula pode fazer para ir de A até B é igual a 20.

Resposta Correta

(C) 20

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