Questão de geometria com o cálculo do perímetro de uma piscina que tem a forma de um setor circular.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UERJ.
Enunciado da Questão
A planta de uma piscina que será construída em um parque público tem a forma de um setor circular definido pelo arco ACB, com raio OA = OB = 20 m. O menor ângulo desse arco, AOB, mede 1,5 radianos. Observe a figura:
Utilizando π = 3,14, o perímetro, em metros, dessa piscina é igual a:
(A) 115,6
(B) 135,6
(C) 155,6
(D) 175,6
Resolução Comentada
Analisando os dados do enunciado, podemos concluir que a piscina tem a forma de um setor circular com ângulo central θ = (2π – 1,5) rad e raio R = 20 m.
Atenção ao ângulo central: a figura mostra uma medida de 1,5 rad. Porém, o problema pede o perímetro da piscina (setor azul). Neste caso, precisamos calcular quanto falta para chegar até 2π, ou seja, o ângulo θ é (2π - 1,5) rad.
Cálculo do perímetro do setor ACB
O perímetro da piscina corresponde ao do setor circular ACB, que é composto pela soma dos dois raios que delimitam o setor mais o comprimento do arco.
Perímetro = R + R + S
Perímetro = 20 + 20 + S
Perímetro = 40 + S
A seguir, vamos encontrar S e concluir o cálculo.
Cálculo do comprimento do arco (S)
O comprimento do arco (S) é igual ao produto do raio (R) pelo ângulo (θ) em radianos.
θ = (2 · 3,14) – 1,5
θ = 6,28 – 1,5
θ = 4,78 rad
Agora, aplicamos os valores na fórmula do comprimento do arco:
S = R · θ
S = 20 · 4,78
S = 95,6 m
Finalizando o cálculo do perímetro de ACB
Perímetro = 40 + S
Perímetro = 40 + 95,6
Perímetro = 135,6 m
Resposta Correta
O perímetro, em metros, dessa piscina é igual a:
(B) 135,6 m
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