Resolução da questão sobre poliedros do ENEM 2025.
Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática.
Enunciado da Questão
A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.
As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.
Quantos vértices tem esse poliedro?
(A) 21
(B) 25
(C) 55
(D) 80
(E) 110
Fonte: questão de matemática do ENEM 2025 — 2º Dia, Caderno 7 (Azul), Aplicação Regular em 16 de novembro de 2025.
Resolução Comentada
Vamos calcular a quantidade de vértices do poliedro convexo apresentado utilizando a relação de Euler para poliedros convexos:
- V: quantidade de vértices, é o que queremos descobrir;
- F: quantidade de faces;
- A: quantidade de arestas.
Contagem da quantidade de faces (F)
A figura apresenta a planificação do poliedro com:
- 1 decágono regular
- 1 pentágono regular
- 5 quadrados
- 25 triângulos equiláteros
Assim, o total de faces é:
F = 1 + 1 + 5 + 25
F = 32
Contagem da quantidade de arestas (A)
Para encontrar a quantidade (A) de arestas do poliedro convexo, nós somamos a quantidade de arestas de cada face do poliedro e dividimos o total encontrado por 2. Isto porque cada aresta é um segmento de reta compartilhado por 2 faces.
- 1 decágono regular [1 x 10 = 10 arestas]
- 1 pentágono regular [1 x 5 = 5 arestas]
- 5 quadrados [5 x 4 = 20 arestas]
- 25 triângulos equiláteros [25 x 3 = 75 arestas]
Agora vamos somar todas essas quantidades e dividir por 2.
A = (10 + 5 + 20 + 75)/2
A = 110/2
A = 55
Contagem da quantidade de vértices (V)
Com estes valores encontrados, podemos encontrar V:
V + F = A + 2
V + 32 = 55 + 2
V = 57 – 32
V = 25
Finalmente, realizamos uma verificação:
| V + F | A + 2 |
|---|---|
| 25 + 32 = 57 | 55 + 2 = 57 ✅ |
Resposta Correta
(B) 25
A relação de Euler é válida para poliedros convexos
O ENEM já abordou esse tema em uma questão anterior, com um breve histórico da demonstração dessa relação para poliedros convexos. Atenção: pois eles apresentaram que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Por exemplo, a relação (V + F = A + 2) não funciona para o poliedro não convexo a seguir, que foi apresentado no enunciado da questão:
É uma questão bem interessante sobre essa relação, sendo um problema essencial no estudo deste tema.
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Questões de Matemática do ENEMForte abraço e bons estudos.
