(ENEM 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

(ENEM 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação.  Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

V = P (1+i) ⁿ

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para ln (4/3) e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30^a é a:

a) 56^a

b) 55^a

c) 52^a

d) 51^a

e) 45^a 

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Resolução:  para resolver esta questão, partimos do momento do pagamento da 30ª parcela.  Nosso objetivo é identificar qual é a próxima prestação que, ao ser antecipada, garantirá um desconto superior a 25%.

Imagine que, ao quitar a 30ª prestação de R$ 820,00, o cliente decida antecipar uma das parcelas restantes.  Para que o o desconto seja superior a 25%, o valor presente P deve ser inferior a 75% do valor futuro V.

Para descobrir qual é essa parcela, vamos trabalhar com a seguinte igualdade:

P = (0,75)V 

Vamos substituir 0,75 por 3/4. Também vamos trocar o V por 820, embora qualquer que seja esse valor, ele será cancelado durante as contas, vamos ver isso.

P = (3/4) 820    [vamos trabalhar assim]

Vamos aplicar os seguintes valores na fórmula:

V = 820

P = (3/4) 820

i = 0,0132

n = ?   "é o que queremos calcular"

V = P (1+i) ⁿ

820 = (3/4) 820 (1,0132) ⁿ

820 = (3/4) 820 (1,0132) ⁿ

1 = (3/4) (1,0132) ⁿ

(1,0132)ⁿ   = 4/3

Neste momento, os logaritmos informados pela questão serão úteis.  Vamos aplicar ln dos dois lados da equação, mantendo-a verdadeira.

ln (1,0132)ⁿ   = ln (4/3)

n  [ ln (1,0132) ]  =  ln (4/3)

Agora, utilizamos os dados fornecidos pelo enunciado:

• ln 1,0132 = 0,0131
• ln (4/3) = 0,2877

Vamos substituir:

0,0131 n = 0,2877
n = 0,2877 / 0,0131 
n = 21,9  ( arredondar para cima; n = 22)

Como o enunciado exige que o desconto seja superior a 25%, o período de antecipação deve ser um número inteiro de meses que ultrapasse o valor que foi encontrado. Se utilizássemos n = 21, o desconto seria inferior a 25%; portanto, devemos arredondar para o próximo número inteiro superior, ou seja, n = 22 meses.

Concluímos, então, que a alternativa correta é a (C) 52^a parcela. No mês 30, pagando esta parcela de R$ 820,00, será possível antecipar a parcela que vence em 22 meses.  Deste modo, 30 + 22 = 52 e será esta a primeira das parcelas que fornecerá um desconto superior a 25%.

A título de curiosidade, este cálculo completo foi lançado em uma planilha eletrônica do Excel.  Com ela, podemos ter uma melhor visualização e tirar a prova real. Veja que é exatamente a partir da 22^a parcela que os descontos superiores a 25% começam a aparecer.

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Forte abraço e bons estudos.