(ENEM 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação.  Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

V = P (1+i) n


Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para ln (4/3) e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30a é a:

a) 56a
b) 55a
c) 52a
d) 51a
e) 45a 

Resolução:  Nesta questão usaremos o logaritmo para descobrir em que tempo n as parcelas que serão antecipadas estarão gerando um desconto superior a 25%.

Você sabia que ln (4/3) = log com base e  =   log e (4/3)
sendo   e = 2.718281828...    (número de Euller)

Saiba mais sobre isso neste link.

Voltemos ao problema, ele quer que na parcela de número 30, o devedor pague R$ 820,00 e antecipe uma parcela que seja paga com desconto de no mínimo 25%.

Ou seja, ele quer pagar uma parcela do futuro que no presente será dada por                           P = 0,75 V = V / [ (1+i) n]


Vamos então calcular o valor presente

P = 820 / [(1,0132)n]
Você concorda que o valor presente P deve ser de 0,75 V?  Ou seja, ele deve representar 3/4 de V

Faremos então 
3/4 . ( 820)  = (820) / [(1,0132)n]

3/4   = 1 / [(1,0132)n]
(3/4).(1,0132n)   = 1
(1,0132n)   = 1 / (3/4)
(1,0132n)   = (4/3)

Neste momento, os ln´s informados pela questão serão úteis.  Vamos aplicar ln dos dois lados de nossa equação, mantendo-a verdadeira.

ln (1,0132n)   = ln (4/3)
Usando as propriedades de logaritmos, podemos retirar o expoente n, trazendo-o para fora do ln.

n .   ln (1,0132)  =  ln (4/3)

Foram dados pelo exercício:

  • ln 1,0132 = 0,0131
  • ln (4/3) = 0,2877

Vamos substituir:

0,0131 . n = 0,2877
n = 0,2877 / 0,0131 
n = 21,96  ( arredondaremos para cima / n = 22)

A alternativa C é a correta ( 52a parcela)  Isso porque ela representa a 30a parcela + 22 parcelas, ou seja, estando no mês 30 e pagando uma parcela de R$ 820,00 naquele mês, a parcela de número 52 poderia ser antecipada e ela geraria um desconto superior a 25%.

Apenas como curiosidade, depois de ter resolvido manualmente este exercício com logaritmo natural (ln), lancei este exercício em uma planilha eletrônica do Excel, com intuito de apresentar uma melhor visualização e tirar a prova real deste exercício. Veja que é exatamente a partir da 22a parcela que os descontos superiores a 25% começam a aparecer.