(Aprendiz de Marinheiro - CPAEAM/2017) O número natural N = 2^3 . 3^p possui 20 divisores. Sendo assim, o valor de p é:

(Aprendiz de Marinheiro - CPAEAM/2017) O número natural N = 2³ . 3^p possui 20 divisores. Sendo assim, o valor de p é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

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Questão Comentada:  para encontrarmos a quantidade de divisores de um número, em primeiro lugar nós devemos decompor o número em seus fatores primos.  Depois, fazemos o produto entre todos os expoentes mais uma unidade. Vamos dar um exemplo:

O número 60, pode ser decomposto em 2 ² . 3 ¹ . 5 ¹ =   60 

Sendo assim, o número de divisores de 60 será dado por

(2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 x 2 = 12   

Podemos concluir que o número 60 possui 12 divisores.  Esse é um método para se calcular o número de divisores de qualquer número sem você ter que escrever quais são todos os divisores um por um. 

A título de curiosidade, listamos a seguir os 12 divisores de 60.

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Com este método compreendido, vamos para a questão de matemática.

N = 2 ³ . 3 ^p possui 20 divisores

Então podemos dizer que (3 + 1 ) x ( p + 1) = 20
(4) x (p + 1) = 20
p + 1 = 20 / 4 

p + 1 = 5
p = 5 - 1 

p = 4 [resposta correta é a alternativa C]

Curiosidade, o número em questão então é o N = 2 ³ . 3 ⁴  = 648.

Aproveite e continue estudando com uma lista de exercícios resolvidos sobre múltiplos e divisores.