EsPCEx 2018 - A equação log3 x = 1 + 12 logx² 3 tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:
EsPCEx 2018 - A equação log3 x = 1 + 12 logx² 3 tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:
a) 0 b) 1/3 c) 3/2 d) 3 e) 9
Solução: questão de matemática da EsPCEx 2018 (Escola Preparatória de Cadetes do Exército) sobre equações logarítmicas onde teremos que usar artifícios durante a resolução.
Vou iniciar fazendo uma mudança de base de logaritmos.
Vou trocar a base do segundo logaritmo de x² para 3, veja como fica:
logx² 3 = log3 3/ log3 x² = 1/2log3 x
Voltemos agora para equação principal
log3 x = 1 + 12 ( 1/2 log3 x)
log3 x = 1 + ( 6 / log3 x)
Vamos substituir agora log3 x = y
y = 1 + 6/y
y - 1 = 6/y
y² - y = 6
y² - y - 6 = 0
A partir de agora podemos encontrar y por meio fórmula de Bhaskara.
y = (-b ± √Δ) / 2a e Δ = b² - 4ac
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25
√Δ = 5
y = (-(-1) ± 5) / 2(1)
y = (1 ± 5) / 2
y1 = 6/2 e y2 = -4/2
y1 = 3 e y2 = -2
Agora temos que voltar em log3 x = y e igualar a y1 e y2 encontrados.
log3 x = y1 e log3 x = y2
log3 x = 3 e log3 x = -2
x = 3³ = 27 e x = 3-2 = 1/9
Para finalizar, basta fazer o produto entre as raízes.
Produto (x1 . x2) = 27 . 1/9 = 3 [alternativa correta é a letra D]
Quer ver mais exercícios sobre logaritmos? Confira aqui: >>> lista completa de exercícios sobre logaritmos. Um abraço e até o próximo.
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