EsPCEx 2018 - A equação logx = 1 + 12 logx² 3 tem duas raízes reais.  O produto dessas raízes é:

a) 0   b) 1/3   c) 3/2   d)  3   e) 9

Solução:  questão de matemática da EsPCEx 2018 (Escola Preparatória de Cadetes do Exército) sobre equações logarítmicas onde teremos que usar artifícios durante a resolução.

Vou iniciar fazendo uma mudança de base de logaritmos.
Vou trocar a base do segundo logaritmo de x² para 3, veja como fica:

logx² 3 =  log3 3/  logx² = 1/2logx

Voltemos agora para equação principal

logx = 1 + 12 ( 1/2 logx)
logx = 1 +  ( 6 / logx)   

Vamos substituir agora  logx  = y

y = 1 + 6/y
y - 1 = 6/y
y² - y = 6

y² - y - 6 = 0

A partir de agora podemos encontrar y por meio fórmula de Bhaskara.

y = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Resolvendo essa equação do segundo grau:

Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25
√Δ = 5

y = (-(-1) ± 5) / 2(1)
y = (1 ± 5) / 2

y1 = 6/2     e     y2 = -4/2
y1 = 3        e     y2 = -2

Agora temos que voltar em logx  = y e igualar a y1 e y2 encontrados.

logx  = y1      e       logx  = y2
logx  = 3        e       logx  = -2    
x = 3³ = 27       e         x = 3-2 = 1/9


Para finalizar, basta fazer o produto entre as raízes.

Produto (x1 . x2) = 27 . 1/9 = 3 [alternativa correta é a letra D]

Quer ver mais exercícios sobre logaritmos?  Confira aqui:  >>> lista completa de exercícios sobre logaritmos.   Um abraço e até o próximo.