EsPCEx 2018 - A equação log3 x = 1 + 12 logx² 3 tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:

EsPCEx 2018 - A equação log₃ x = 1 + 12 log_x² 3 tem duas raízes reais.  O produto dessas raízes é:

a) 0   b) 1/3   c) 3/2   d)  3   e) 9

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Solução:  questão de matemática da EsPCEx 2018 (Escola Preparatória de Cadetes do Exército) sobre equações logarítmicas, onde teremos que usar artifícios durante a resolução.

Vamos iniciar fazendo uma mudança de base de logaritmos em log_x² 3

log_x² 3 =  log₃ 3/  log₃ x² = 1/(2log₃ x)

Agora, vamos fazer essa substituição na equação.

log₃ x = 1 + 12 [1/(2 log₃ x)]

log₃ x = 1 + 12/(2 log₃ x)
log₃ x = 1 + (6/log₃ x)

Agora, vamos fazer a seguinte substituição: log₃ x  = y

y = 1 + 6/y
y - 1 = 6/y
y² - y = 6

y² - y - 6 = 0

Agora, podemos encontrar y por meio da fórmula de Bhaskara.

y = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Resolvendo essa equação do segundo grau:

Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25
√Δ = 5

y = (-(-1) ± 5) / 2(1)
y = (1 ± 5) / 2

y1 = 6/2
y1 = 3

y2 = -4/2
y2 = -2

Agora, temos que voltar em log₃ x  = y e igualar a y1 e y2 encontrados.

log₃ x  = y1
log₃ x  = 3
x = 3³ = 27

log₃ x  = y2

log₃ x  = -2  
x = 3^-2 = 1/9

Aplicando esses dois valores de x na equação inicial, verificamos que eles satisfazem.

Finalmente, basta fazer o produto entre as raízes.

Produto (x1 . x2) = 27 . (1/9) = 3 [alternativa correta é a letra D]

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.