(UECE 2021.1)  Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x 2 - 2x - 1 = 0 e x 4 + 13x 2 + 36 = 0. Se X = W ∪ V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a  A) 20. B) –20. C) 4i. D) –4i. Nota: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2021.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 20/06/2021. Para encontrarmos os conjuntos W e U, precisamos obter as raízes das equações fornecidas. >> Obtendo as raízes de x 2  - 2x - 1 = 0 Podemos encontrar as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara. Δ = b² - 4ac Δ = (-2)² - 4(1)(-1) Δ = 4 + 4 Δ = 8 x = (-b ± √Δ) / 2a x = (-(-2) ± √8) / 2(1) x = (2 ± 2√2) / 2 x = 1 ± √2 Portanto, o conjunto W = { 1 - √2 , 1 + √2 } . >> Obtendo as raízes de x 4  + 13x 2  + 36 = 0. Substituindo ( y = x² ). x 4  + 13x 2 ...

(EEAR CFS 2/2022) A soma das raízes da equação 2|x| 2 − 5|x| = 3 é um valor  a) igual a 2 b) entre 2 e 3 c) maior que 3 d) menor que 1 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2022. Prova aplicada no dia 14/11/2021. Para resolver esta equação modular, vamos substituir |x| por y.  Sendo assim, temos que:  y = |x|.  E com isso a equação do segundo grau fica sendo: 2y² - 5y - 3 = 0 Vamos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara: Δ = b² - 4ac Δ = (-5)² - 4(2)(-3) Δ = 25 +24 Δ = 49 √Δ = 7 y = (-b ± √Δ) / 2a y1 = (5 + 7)/4 = 3 y2 = (5 - 7)/4 = -2/4 = -1/2 Agora, voltamos em |x| = y |x| = 3 x = 3 ou x = -3 |x| = -1/2 Para este caso, não há solução, pois o valor de |x| tem que ser maior ou igual a zero. Finalmente, o conjunto solução é {x = -3 ou x = 3} e a soma dessas duas raízes vale (-3 + 3) = 0.   Alternativa correta é a letra d). Aproveite e contin...

(EsPCEx 2020) A função real definida por f(x) = (k² - 2k - 3) x + k é crescente se, e somente se [A] k > 0.  [B] -1 < k < 3.  [C] k ≠ -1 ou k ≠ 3.  [D] k = -1 ou k = 3.  [E] k < -1 ou k > 3. Solução:  questão muito interessante da Escola Preparatória de Cadetes do Exército de 2020 que explora na mesma questão os conceitos de equação da reta e inequação do segundo grau. Repare que f(x) é uma equação de reta do tipo  f(x) = a x + b  e para que esta seja crescente, o coeficiente a desta reta deve ser maior do que 0.  Logo  k² - 2k - 3 > 0. Isso nos obriga a resolver uma inequação do segundo grau. Primeiramente, vamos encontrar as raízes desta inequação usando a fórmula de Bhaskara. k = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac Δ = (-2)² - 4.(1) . (-3) Δ = 4 + 12 = 16 √Δ = 4 k = (2 ± 4) / 2.(1) k = 6/2 = 3 k = -2/2 = -1 Vamos esboçar a parábola k² - 2k - 3.    A concavidade da parábola é voltada para ci...

4 - (Concurso: Técnico Bancário - CEF Caixa Econômica Federal  / Banca: Fundação Cesgranrio - Ano 2008)   A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. A taxa interna de retorno é igual a (A) 10% (B) 12% (C) 15% (D) 18% (E) 20% Solução:  questão onde utilizaremos a fórmula da taxa interno de retorno. Imagem de  Dicionário Financeiro.  Acessado em 08/10/2020 às 21h15. URL:  https://www.dicionariofinanceiro.com/tir-taxa-interna-retorno/ Perceba que o investimento inicial é igual ao somatório dos fluxos de caixa trazidos a valor presente por meio de uma taxa interna de retorno.  Deste modo, o VPL (Valor Presente Líquido do Projeto) fica sendo igual a zero. Vamos a resolução: Para simplificar, vamos substituir a variável TIR, por x. [ 35 / ( 1 + x) ]  + [ 22 / ( 1 + x)² ]     =  50 [35 ( 1 + x ) + 22 ] / ( 1 + x)² =  50 35 + 35x + 22 = 50 ( 1 + 2x + x²) 35 x + 57 = 50 + 100 x + 50 x² 50 x² + ...

Caro estudante, Selecionamos uma lista com questões de matemática que poderão ser resolvidas utilizando a Fórmula de Bhaskara.  Recomendamos que você reserve um tempo para tentar resolvê-las e depois conferir o gabarito com a resolução passo a passo.  Sucesso nos estudos. Exercício 1 - Se você dividir o número 4 em duas parcelas, o produto dessas parcelas é 29.  Calcule essas duas partes. Link para a solução. Exercício 2 - Seja a equação do segundo grau x² - 5x + 6 = 0 , encontre as suas raízes. Link para a solução . A partir de agora, veja mais exercícios onde a fórmula de Bhaskara foi aplicada também na solução de problemas que envolvem outros temas como logaritmos ou trigonometria. Exercício 3 - EsPCEx 2018 - A equação log 3 x = 1 + 12 log x² 3 tem duas raízes reais.  O produto dessas raízes é: a) 0   b) 1/3   c) 3/2   d)  3   e) 9 Link para a solução da questão. Exercício 4 - EsPCEx 2018...

Encontre as raízes da equação do segundo grau x² - 5x + 6 = 0. Podemos resolver esse exercício por meio da fórmula de Bhaskara. Seja uma equação do segundo grau  ax² + bx + c = 0  com a, b e c coeficientes reais e a ≠ 0, podemos encontrar as suas raízes por meio da fórmula:   x = (-b ± √Δ) / 2a , sendo Δ = b² - 4ac. a = 1 b = -5 c = 6  Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 √Δ = 1 x = (-(-5) ± 1) / 2(1) = (5 ± 1)/2 x1 = (5+1)/2                 x2 = (5-1)/2 x1 = 3                             x2 = 2 Confira aqui uma lista com mais exemplos de exercícios sobre equações do segundo grau .

EsPCEx 2018 - A equação log 3  x = 1 + 12 log x²  3 tem duas raízes reais.  O produto dessas raízes é: a) 0   b) 1/3   c) 3/2   d)  3   e) 9 Solução:  questão de matemática da EsPCEx 2018 (Escola Preparatória de Cadetes do Exército) sobre equações logarítmicas, onde teremos que usar artifícios durante a resolução. Vamos iniciar fazendo uma mudança de base de logaritmos em  log x²  3 log x²  3 =  log 3 3/  log 3  x² = 1/(2 log 3  x) Agora, vamos fazer essa substituição na equação. log 3  x = 1 + 12 [1/(2 log 3  x)] log 3  x = 1 + 12/(2 log 3  x) log 3  x = 1 + (6/log 3  x) Agora, vamos fazer a seguinte substituição:  log 3  x  = y y = 1 + 6/y y - 1 = 6/y y² - y = 6 y² - y - 6 = 0 Agora, podemos encontrar y por meio da fórmula de Bhaskara. y = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - ...

Hoje vamos iniciar uma série de exercícios resolvidos que envolvem o conhecimento do conjunto dos números complexos . Se você dividir o número 4 em duas parcelas, o produto dessas parcelas é 29.  Calcule essas duas partes. Solução:  em primeiro lugar, tenhamos em mente que as duas parcelas não são iguais, o enunciado não nos remete a isso.  E também, se fossem iguais, essas parcelas seriam iguais a 2 e o produto 2x2 não é igual a 29. Podemos chamar a primeira parcela de   x   e a segunda parcela deverá ser (4 - x) Note que a soma de x + (4-x)  será igual a 4, agora vamos calcular  x . ( 4 - x ) = 29 4x - x 2 - 29 = 0   Vamos multiplicar ambos os lados da equação por -1. x 2  - 4x + 29 = 0 Para resolver essa equação do segundo grau, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara. x = [  - b ± √Δ ] / 2a    onde      △ =  b 2 - 4ac △ = (-4) 2 - 4(1)(29) = 16 - 116  =...