(EsPCEx 2020) A função real definida por f(x) = (k² - 2k - 3) x + k é crescente se, e somente se

[A] k > 0.

[B] -1 < k < 3.

[C] k ≠ -1 ou k ≠ 3.

[D] k = -1 ou k = 3.

[E] k < -1 ou k > 3.

Solução: questão muito interessante da Escola Preparatória de Cadetes do Exército de 2020 que explora na mesma questão os conceitos de equação da reta e inequação do segundo grau.

Repare que f(x) é uma equação de reta do tipo f(x) = a x + b e para que esta seja crescente, o coeficiente a desta reta deve ser maior do que 0. Logo k² - 2k - 3 > 0.

Isso nos obriga a resolver uma inequação do segundo grau. Primeiramente, vamos encontrar as raízes desta inequação usando a fórmula de Bhaskara.

k = (-b ± √Δ) / 2a e Δ = b² - 4ac

Δ = (-2)² - 4.(1) . (-3)

Δ = 4 + 12 = 16

√Δ = 4

k = (2 ± 4) / 2.(1)

k = 6/2 = 3

k = -2/2 = -1

Vamos esboçar a parábola k² - 2k - 3. A concavidade da parábola é voltada para cima, pois o coeficiente "a" da parábola, ou seja, aquele que multiplica k² é igual a 1 e portanto maior do que 0.

Com este esboço podemos observar que (k² - 2k - 3) será maior do que 0, sempre que k estiver antes de -1 ou depois de 3. Podemos escrever nosso conjunto solução, S = { k ∈ R | k < -1 ou k > 3 }. Alternativa correta é a letra E.

Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado. Continue estudando por questões, aproveite e confira também:

>> Lista de Exercícios de Equações Polinomiais do 2º e 3º Grau usando as relações de Girard

Um forte abraço e bons estudos.