Hoje vamos iniciar uma série de exercícios resolvidos que envolvem o conhecimento do conjunto dos números complexos.


Se você dividir o número 4 em duas parcelas, o produto dessas parcelas é 29.  Calcule essas duas partes.

Solução:  em primeiro lugar, tenhamos em mente que as duas parcelas não são iguais, o enunciado não nos remete a isso.  E também, se fossem iguais, essas parcelas seriam iguais a 2 e o produto 2x2 não é igual a 29.

Podemos chamar a primeira parcela de  x  e a segunda parcela deverá ser (4 - x)

 Note que a soma de x + (4-x)  será igual a 4, agora vamos calcular

 x . ( 4 - x ) = 29
4x - x2 - 29 = 0  
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por -1.
x2 - 4x + 29 = 0

Para resolver essa equação do segundo grau, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.

x = [  - b ± √Δ ] / 2a    onde      △ =  b2 - 4ac

△ = (-4)2 - 4(1)(29) = 16 - 116  =  - 100

Encontramos que delta é igual a -100, portanto < 0   ( logo, já podemos concluir que esta equação não possui raízes reais).  Veja neste exemplo de exercício resolvido o que acontece quando delta é menor, igual ou maior que zero.

No conjunto dos números complexos, como i2 = -1 , teremos que -100 = 100 ( -1) = 100 i2.
Sendo assim    √Δ = 10 i

x = [  - (-4) ± 10i ] / 2(1) = (4 ± 10 i) /  2 = 2 ± 5i

 Logo, as duas partes nas quais o número 4 foi dividido são 2+ 5i e 2 - 5i.  Essa é a resposta para o problema.

Para finalizar, vamos comprovar isso com uma prova real.

 Somar 2+ 5i com 2 - 5i.

Somamos dois ou mais números complexos, somando separadamente suas partes reais e depois suas partes imaginárias.

   2 + 5i
+ 2 - 5i
= 4 + 0i = 4   ( ok)

 Multiplicar 2+ 5i por 2 - 5i.

 Multiplicamos números complexos da mesma forma que multiplicamos os polinômios.

(2 + 5i) ( 2 - 5i) = 4 - 10i + 10 i - 25i2  = 4 - 25 ( -1) = 4 + 25 = 29   (ok)

 Seria impossível ter resolvido esse problema matemático sem o conhecimento do conjunto dos números complexos.

Fonte:   essa questão é um dos exercícios propostos no Livro Matemática Fundamental - 2º Grau - Volume Único de autoria de Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr.  Foi obtida na página 250 deste livro.

Desejo um ótimo estudo e sucesso nos seus exames e concursos.

Aproveite e pratique com uma lista de questões resolvidas sobre números complexos.