Olá caro estudante, hoje vamos iniciar uma série de exercícios resolvidos que envolvem o conhecimento do conjunto dos números complexos.


Primeiro Exercício - Se você dividir o número 4 em duas parcelas, o produto dessas parcelas é 29.  Calcule essas duas partes.

Solução:  Em primeiro lugar, tenhamos em mente que as duas parcelas não são iguais, o enunciado não nos remete a isso.  E também, se fossem iguais, essas parcelas seriam iguais a 2 e o produto 2x2 não é 29.

Podemos chamar a primeira parcela de  x  e a segunda parcela deverá ser (4 - x)

Note que a soma de x + (4-x)  será igual a 4,
agora fazemos x * ( 4 - x ) = 29
4x - x2 - 29 = 0  (multiplicamos ambos os lados da equação por -1)
x- 4x + 29 = 0

Aplicaremos aqui o método de Bhaskara.

x = [  - b ± √Δ ] / 2a    onde      △ =  b2 - 4ac

Vamos calcular primeiro delta = ( -4)2 - 4(1)(29) = 16 - 116  =  - 100
Encontramos que delta é igual a -100, portanto < 0   ( logo já podemos concluir que esta equação não possui raízes reais).  Veja neste exemplo de exercício resolvido o que acontece quando delta é menor, igual ou maior que zero.

No conjunto dos números complexos, como i2 = -1 , teremos que -100 = 100 ( -1) = 100 i2.
Sendo assim    √Δ = 10 i

x = [  - (-4) ± 10i ] / 2(1) = 4 ± 10 i /  2 = 2 ± 5i

Logo as duas partes nas quais o número 4 foi dividido são 2+ 5i e 2 - 5i.  Essa é a resposta para o problema.

Agora, podemos conferir se não escorregamos no exercício tirando a velha e boa prova real.

Somar 2+ 5i com 2 - 5i.

Somamos dois ou mais números complexos somando suas partes reais e suas partes imaginárias.

   2 + 5i
+ 2 - 5i
= 4 + 0i = 4   ( ok!  satisfaz!)

Multiplicar 2+ 5i por 2 - 5i.

Multiplicamos números complexos da mesma forma que multiplicamos os polinômios.
(2 + 5i) ( 2 - 5i) = 4 - 10i + 10 i - 25i= 4 - 25 ( -1) = 4 + 25 = 29 (ok!  satisfaz!)

Seria impossível ter resolvido esse problema matemático sem o conhecimento do conjunto dos números complexos.

Fonte:   Essa questão é um dos exercícios propostos pelo Livro Matemática Fundamental - 2º Grau - Volume Único de autoria de Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr. Foi obtida na página 250 deste livro.

Desejo um ótimo estudo e sucesso nos seus exames e concursos.

Até o próximo.