(UECE 2021.1) Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x2 - 2x - 1 = 0 e x4 + 13x2 + 36 = 0. Se X = W ∪ V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a 

A) 20. B) –20. C) 4i. D) –4i.

Nota: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1.
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2021.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 20/06/2021.

Para encontrarmos os conjuntos W e U, precisamos obter as raízes das equações fornecidas.

>> Obtendo as raízes de x2 - 2x - 1 = 0

Podemos encontrar as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara.

Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(-1)
Δ = 4 + 4
Δ = 8

x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (-(-2) ± √8) / 2(1)
x = (2 ± 2√2) / 2
x = 1 ± √2

Portanto, o conjunto W = { 1 - √2 , 1 + √2 } .

>> Obtendo as raízes de x4 + 13x2 + 36 = 0.

Para obter as raízes deste polinômio de grau 4, vamos convertê-lo em um polinômio de grau 2, fazendo a substituição (x² = y).

x4 + 13x2 + 36 = 0
(x2)2 + 13x2 + 36 = 0
y2 + 13y + 36 = 0

Deste modo, podemos encontrar as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara.

Δ = b² - 4ac
Δ = 13² - 4 . 1 . (36)
Δ = 169 - 144
Δ = 25

y = (-b ± √Δ) / 2a
y = (-13 ± √25) / 2(1)
y = (-13 ± 5) / 2

y1 = (-13 + 5) / 2 = -4
y2 = (-13 - 5) / 2 =  -9

Agora, temos que voltar em x² = y com estes valores de y para encontrarmos os respectivos valores para x.

x² = y1
x² = -4
x = ± √-4
Agora, substituimos -1 por i².
x = ± √(i².4)
x = ± 2i

x² = y2
x² = -9
x = ± √-9
Agora, substituimos -1 por i².
x = ± √(i².9)
x = ± 3i

Portanto, o conjunto V = { -3i, -2i, 2i, 3i }.

O conjunto X = W ∪ V = {  1 - √2 , 1 + √2 , -3i, -2i, 2i, 3i }

Finalmente, temos que calcular a soma dos quadrados dos elementos de X.
  • (1 - √2)² = 1 - 2√2 + 2 = 3 - 2√2
  • (1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2   
  • (-3i)² = 9i² = -9 
  • (-2i)² = 4i² = -4
  • (2i)² = 4i² = -4
  • (3i)² = 9i² = -9
Agora é só somar:  

(3 - 2√2) + (3 + 2√2) + (-9)  + (-4) + (-4) + (-9)
6 - 9 - 4 - 4 - 9
-20

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.