(EPCAR 2018) Um artista plástico providenciou uma peça de decoração com características matemáticas conforme representado no croqui a seguir.


Considere que:


A área hachurada do croqui, em função da medida R, é igual a

a) 1,4 R²                      c) 1,8 R²
b) 1,6 R²                      d) 2 R²

Solução:  questão bastante interessante da EPCAR - Escola Preparatória de Cadetes do Ar.  Nela precisaremos utilizar várias fórmulas da matemática como lei dos cossenos, área do setor circular e área de um triângulo quando conhecemos dois de seus lados e o ângulo entre eles.

Podemos inicialmente visualizar que um ângulo de 45º está presente entre os raios R da figura principal.

Vamos concentrar nossa interpretação com foco no triângulo ODE.  Repare que a área objetivo de cálculo da questão está dividida em 8 partes iguais, onde:

Área objetivo = 8 X [ Área do semicírculo DE - (Área do setor ODE - Área do triângulo ODE ]

Podemos encontrar x usando a lei dos cossenos.

x² = R² + R² - 2 . R . R . cos 45º
x² = 2 R² - 2 R²√2/2  (√2 = 1,4)
x² = 2R² - 1,4 R² = 0,6R²
x = R √ 0,6

Área objetivo = 8 X [ Área do semicírculo DE - (Área do setor ODE - Área do triângulo ODE) ]

Área do semicírculo DE = 180º/360º . π .(Raio) ²    = 1/2 . π . [(R √ 0,6) /2]² = 1/2 π [ R². 0,6/4 ] = πR².(0,6 / 8) = 1,8 R² / 8

Área setor ODE = 45º/360º . πR² = 1/8 . πR² = 3/8 R²

Área do triângulo ODE = 1/2 . R . R . sen 45º = 1/2 R² . √2/2 = 1,4 R² / 4

Área do setor ODE - Área do triângulo ODE = 3/8 R² - 1,4 R² / 4  =  0,2R² / 8

Área objetivo = 8  x [  1,8 R² / 8 - (3/8 R² - 1,4 R² / 4) ]
                        = 8  x [  1,8 R² / 8 - 0,2 R² / 8 ] 
                        = 8  x [  1,6 R² / 8 ]   =  1,6 R² ( alternativa correta é a letra B)

Espero que esta resolução de exercício passo a passo tenha te ajudado. Aproveite e continue estudando por aqui, confira mais questões da EPCAR.

 Um forte abraço e bons estudos!