Questão de geometria plana sobre ângulos internos de um triângulo (resolução com Lei dos Cossenos). Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UECE .

(UECE 2024.1)  Os pontos X, U e Y são vértices de um triângulo. Se as medidas dos lados XU e YU são respectivamente 30 cm e 22 cm, e se a medida do ângulo XÛY é igual a sessenta graus, então, a medida, em cm, do lado XY é um número entre  A) 26,6 e 26,9. B) 27,0 e 27,2. C) 27,2 e 27,4. D) 26,9 e 27,0. sen 60° = √3                                           2 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023. Primeiramente, vamos ilustrar o triângulo XUY com os dados fornecidos no enunciado.  Nesta resolução, todas as medidas estão em cm. Podemos obter a medida , em cm, do lado XY utilizando a lei dos cossenos. XY 2 = XU 2  + YU 2  - ...

(ENEM 2023)  Sejam a , b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a , b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C 1 , C 2 e C 3 , como apresentados na figura. Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C 1 ) = área (C 2 ) + área (C 3 ). Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura. A partir da medida do ângulo α, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas ...

( UNICAMP 2024 )  No losango abaixo, qual é a medida do comprimento do segmento BE? a) √26. b) √27. c) √28. d) √29. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Mais uma questão bem interessante de geometria plana da UNICAMP.  Sabemos que o losango possui os 4 lados iguais e além disso os ângulos internos opostos são iguais.  Deste modo, vamos considerar que o lado do losango vale x e vamos também ilustrar o ângulo interno  no vértice C que deve ser igual ao ângulo interno no vértice A que mede 60°. Podemos perceber que o triângulo retângulo BFC possui um ângulo interno de 30° no vértice B, isto porque a soma dos 3 ângulos internos do triângulo vale 180°.  Podemos utilizar o seno desse ângulo para descobrir o valor de x utilizando as relações trigonométricas no triângulo retângulo. seno de 30° = cateto oposto / hipotenusa 1/2 = CF / CB 1/2 = (x-3) / x x = 2x - 6 x = 6 Com esta medida, vamos atualizar...

(UERJ 2019)  A figura ilustra três circunferências, de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos M, N e P. O comprimento do segmento de reta MN é igual à raiz quadrada de:  (A) 3,6 (B) 3,8 (C) 4,2 (D) 4,4 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2019 (2º Exame de Qualificação) , prova aplicada no dia 16/09/2018. Uma questão bem interessante de geometria plana, podemos obter a medida MN utilizando a lei dos cossenos, vamos ilustrar algumas medidas importantes na figura a seguir: Aplicando a lei dos cossenos no triângulo AMN, podemos encontrar a medida MN, ilustrada com o valor de x.   x² = 3² + 3² - 2 . 3 . 3 . cos θ x² = 9 + 9 - 18 cos θ x² = 18 - 18 cos θ x² = 18 (1 - cos θ) Precisamos do valor de cos θ, podemos encontrá-lo por meio das relações trigonométricas no triângulo  retângulo ABC. cos θ = cateto adjacente / hipotenusa cos θ = AB / AC cos θ = 4/5 = 0,80 E agora usamos este valor para en...

(EEAR CFS 1/2024)  Em um relógio, o ponteiro dos minutos mede 2 cm e o das horas mede 1 cm. Ao marcar pontualmente 10h nesse relógio, a distância entre as extremidades dos ponteiros é de _____ cm. a) √3 b) √2 c) 1,5 d) 2 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024 . Prova aplicada no dia 04/06/2023. Na ilustração a seguir, note que o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos é de 30° + 30° = 60°. Isto porque o relógio é dividido em 12 partes iguais, com ângulos iguais a 360°/12 = 30°. Quando o relógio marca pontualmente 10h, isto quer dizer que o ponteiro das horas está apontado para 10 e o ponteiro dos minutos está apontado para 12. Ou seja, entre eles o ângulo é de 30° + 30° = 60°. Nosso objetivo é calcular a distância entre as extremidades dos ponteiros, que foi ilustrada por d .  Podemos encontrá-la, utilizando a lei dos cossenos . d...

(CEDERJ 2023.1)  Os lados AB e AD do paralelogramo ABCD medem, respectivamente, 8m e 6m, e formam entre si um ângulo de 60°. Nessas condições, suas diagonais AC e BD, medem, em metros, respectivamente: a) 2√ 37  e 2√ 13 . b) √ 37  e √ 13 . c) 37 e 13. d) 74 e 26. Solução:  questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.1,  prova aplicada no dia 27/11/2022. Para resolvermos essa questão de geometria plana, vamos primeiramente ilustrar o paralelogramo  ABCD. Agora, vamos calcular a medida de cada uma das suas diagonais. >> Cálculo da medida da diagonal AC. Podemos encontrar a medida da diagonal AC utilizando a lei dos cossenos  no triângulo ABC. AC² = AB² + BC² - 2 . AB . BC . cos 120° AC² = 8² + 6² - 2 . 8 . 6 . (- cos 60°) AC² = 64 + 36 - 96 . (- 1/2) AC² = 100 + 96/2 AC² = 100 + 48 AC² = 148 Fazendo a decomposição em fatores primos do número 148 chegaremos em  148 = 2 x 2 x 37 = 2² x 37 AC² = 2² x 37 AC = 2√ 37  metros Até aqui, j...

(EEAR CFS 2/2023)  Seja o hexágono regular ABCDEF, de lado medindo 4 cm. Assim, BF = _______ cm. a) 4 b) 6 c) 4√3 d) 6√3 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022. O hexágono regular da figura possui os 6 lados medindo 4 cm, além disso, ele possui 6 ângulos internos iguais a 120°. Isto porque a soma dos ângulos internos (Si) do hexágono regular é igual a  Si = (n-2) x 180º Si = ( 6 -2) x 180° Si = 4 x 180° Si = 720° Como são 6 ângulos internos iguais, então a medida de cada ângulo interno é dada por  720° / 6 = 120°. Vamos atualizar a figura com estas medidas: Já temos os elementos suficientes para encontrar a medida BF utilizando a lei dos cossenos. BF² = 4² + 4² - 2.4.4.(cos 120°) BF² = 16 + 16 - 32 (-cos 60°) BF² = 32 - 32 (-1/2) BF² = 32 + 16 BF² = 48 BF = 4√3 Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista ...

(UECE 2022.1)  Desejando-se cercar uma área plana na forma de um triângulo cujos vértices estão nos pontos X, Y e Z, ao iniciar a construção da cerca, verificou–se que a localização do ponto Y tinha desaparecido. O mapa indicava que o comprimento do lado XZ era 20 m e o comprimento do lado YZ era 30 m. Além disso, o ângulo (interno ao triângulo) entre ZX e XY era 120 graus. Nestas condições, pode-se afirmar corretamente que o comprimento do lado XY, em metros, é aproximadamente Se precisar, use o número 49 como valor aproximado de √2400 A) 13,6. B) 14,5. C) 14,0. D) 15,1. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 15/11/2021. Uma questão de matemática muito interessante com aplicação prática da geometria, onde utilizaremos a lei dos cossenos .  Vamos ilustrar o triângulo XYZ. Podemos encontrar a medida XY, a qual chamamos de k, aplicando a lei dos c...

Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões de geometria plana que envolvem a aplicação da lei dos cossenos. As questões são provenientes de provas anteriores de matemática de carreiras militares e concursos para professores de matemática para você que está se preparando para exames neste ano. Recomendamos que você reserve um tempo, resolva toda a  lista de exercícios de Lei dos Cossenos  e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Desejamos sucesso na sua preparação. Exercícios Resolvidos sobre Lei dos Cossenos Exercício 1 -   (FAMERP 2020)  A figura indica o retângulo FAME e o losango MERP desenhados, respectivamente, em uma parede e no chão a ela perpendicular. O ângulo MÊR mede 120º, ME = 2 m e a área do retângulo FAME é igual a 12 m². Na situação descrita, a medida de  RA  é a) 3√3 m b) 4√3 m c) 5√2 m d) 3√2 m e) 4√2 m >> Link para a solução da questão Exercício 2 -  ( ESA 2019) Uma pequena praça tem...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2019) Os lados de um triângulo medem 30 cm, 70 cm e 80 cm.  Ao traçarmos a altura desse triângulo em relação ao maior lado, dividiremos esse lado em dois segmentos.  Sendo assim, calcule o valor do menor segmento em centímetros e assinale a opção correta. a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2019,  prova do dia 14/04/2019. Uma questão muito interessante de geometria plana, podemos resolvê-la de diversas maneiras, vamos adotar a lei dos cossenos.  Inicialmente, vamos ilustrar esse triângulo e a altura relativa ao maior lado. Nosso objetivo é encontrar o valor do segmento AD, ilustrado em vermelho com o valor de X. Repare, no triângulo retângulo ABD, que cos α = AD/AB. cos α = X/30 Além disso, no triângulo ABC, podemos aplicar a lei dos cossenos: 70² = 30² + 80² - 2 . 30 . 80 . cos α O que vamos fazer agora é su...

(UERJ 2017)  Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M. O cosseno do ângulo AMD equivale a: a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 2/5 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2017,  prova do dia 16/10/2016 (2° Exame de Qualificação). Uma questão muito interessante de geometria espacial  sobre o tetraedro regular , onde utilizaremos também a lei dos cossenos . O tetraedro regular é formado por 4 faces, as quais são triângulos equiláteros (com os 3 lados iguais).   Olhando para o triângulo BCD, perceba que o segmento DM é a mediana relativa ao lado BC.  A mediana é o segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e alcança o ponto médio do lado oposto.  Além disso, no triângulo equilátero, a altura, mediana e bissetriz, referente a cada lado, estão sobre a mesma reta....

(FAMERP 2020)  A figura indica o retângulo FAME e o losango MERP desenhados, respectivamente, em uma parede e no chão a ela perpendicular. O ângulo MÊR mede 120º, ME = 2 m e a área do retângulo FAME é igual a 12 m². Na situação descrita, a medida de RA é a) 3√3 m b) 4√3 m c) 5√2 m d) 3√2 m e) 4√2 m Solução:  questão de matemática da FAMERP 2020,   prova aplicada no dia 09/12/2019. Questão interessante de geometria, onde utilizaremos a lei dos cossenos, vamos ilustrar a figura com alguns valores importantes para os nossos cálculos: No losango MERP, como ME vale 2m, então todos os lados têm esta mesma medida.  Além disso, como a área do retângulo FAME vale 12 m², então  AM = 6m, isto porque AM x ME = 12 AM  x 2 = 12 AM = 6 m Repare que identificamos RA com a variável x e RM com a variável y.   Nosso objetivo é encontrar x.  Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AMR. x² = y² + 6² x² = y² + 36  (Equação 1) A...

(EEAR CFS 1/2022) Seja ABC um triângulo tal que  = 60°, conforme a figura. Assim, tem-se que FD = _____.  a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Questão muito interessante sobre a mediana do triângulo.  A mediana é o segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e alcança o lado oposto exatamente no seu ponto médio.  Perceba que CD parte de C e alcança o lado AB exatamente em seu ponto médio D.  Simplificando, a mediana CD está "dividindo" o lado AB em dois segmentos iguais de comprimento igual a 6.  Perceba que BE também é uma mediana, pois também parte de um vértice (B) e "divide" o segmento oposto (AC) em dois segmentos iguais.  O ponto F é o baricentro deste triângulo, baricentro é o ponto de encontro das medianas. >> Você pode praticar mais sobre cevianas de um triângulo por aqui:  cevianas (m...

(Colégio Naval 2021) Na figura abaixo, O é o ponto de encontro das bissetrizes do Δ ABC e centro da circunferência σ.  Sabendo que BÔC é o dobro de BÂC e que o PQ = 10√3 cm, qual é o comprimento ? a) (5π) / 6 b) (2π) / 3 c) π/3 d) (20π) / 3 e) (15π) / 6 Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Questão de geometria muito interessante que engloba o conceito de cevianas (bissetriz de um triângulo) , somatório dos ângulos internos de um triângulo,  relações métricas na circunferência (cordas e arcos) e também a lei dos cossenos .  Vamos resolvê-la passo a passo: Primeiramente, vamos encontrar o valor do ângulo BÔC.  Lembre-se que as bissetrizes estão dividindo seus respectivos ângulos pela metade. A soma dos ângulos internos do triângulo ABC vale: 2a + 2b + 2c = 180° 2 (a + b + c) = 180° a + b + c = 90º   [Equação I] A soma dos ângulos internos do tr...

(Concurso: Professor de Matemática da Educação Básica - Prefeitura de Teresina/PI. 2019 Banca: NUCEPE) A figura a seguir mostra dois hexágonos regulares com dois vértices coincidentes. O hexágono maior tem área igual a 72√3 cm². Qual a medida do lado do hexágono menor? a) 2 cm. b) 4 cm. c) 2√3 cm. d) 3√3 cm. e) 4√3 cm. Solução: questão muito interessante de geometria plana que envolve conhecimentos sobre o hexágono regular e onde aplicaremos também a lei dos cossenos para encontrar o lado do hexágono menor. Embora seja uma questão principalmente sobre hexágonos, ela é muito rica, com outros temas e aspectos da geometria envolvidos.  Vamos marcar na figura algumas informações importantes. Sejam X o lado do hexágono maior e Y o lado do hexágono menor, podemos primeiramente obter X, uma vez que sabemos a área do hexágono maior (72√3 cm²).  Também sabemos que a área de um hexágono regular de lado X tem área igual a seis vezes a área do triângulo equilátero de lado X, você...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2020) Num paralelogramo dois de seus lados adjacentes formam o ângulo de 30º e medem 5 cm e 5√3 cm respectivamente.  Calcule a diferença entre a diagonal maior e a diagonal menor desse paralelogramo e assinale a opção que apresenta essa diferença. a) 5 (√7 - 1) b) 5 (√7 - 2) c) 5 (√3 - 1) d) 5√3 e) 5√7 Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2020. Podemos resolvê-la utilizando a lei dos cossenos .  Vamos fazer um esboço ilustrativo para auxiliar a resolução do problema. DM² = 5² + (5√3)² - 2 . 5 . 5√3 . cos 150º cos 150º = - cos 30º = -√3/2 DM² = 25 + (25.3) - 50.√3 . -√3/2 DM² = 25 + 75 + 50.3/2 DM² = 100 + 75 = 175 DM = 5 √7 dm² = 5² + (5√3)² - 2 . 5 . 5√3 . cos 30º dm² = 100 - 50√3 . √3/2 dm² = 100 - 75 = 25 dm = 5 Finalmente, a diferença entre a diagonal maior e a diagonal menor desse paralelogramo é  5√7 - 5 = 5 ( √7-1) Alternativa correta é a letra a). Apro...

(Colégio Naval 2020)  Um geógrafo posicionado numa praia deseja determinar a distância entre duas ilhas e para isso toma como referência os pontos A e B das ilhas como mostra a figura.  Na praia ele marca dois pontos C e D distantes 70 m um do outro.  Usando um medidor de ângulos (teodolito), os ângulos ACB = 38º, BCD = 37º, ADC = 60º e ADB = 53º.  É correto afirmar que a distância entre os pontos A e B é:  Dados sen 37º = 3/5, sen 75º = 19/20, cos 53º = 3/5 e √2 = 7/5 a) maior do que 70 m e menor do que 75 m. b) maior do que 75 m e menor do que 80 m. c) maior do que 80 m e menor do que 85 m. d) maior do que 85 m e menor do que 90 m. e) maior do que 90 m e menor do que 95 m. Solução: questão bem interessante de geometria do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval 2020 com uma aplicação prática da matemática.  Vamos preencher a figura com os ângulos e medidas informados no enunciado e outros que podem ser obtidos a partir deles. Podemos ob...

(UNICAMP 2021) Considere que os ângulos internos de um triângulo formam uma progressão aritmética. Dado que a,b,c são as medidas dos lados do triângulo, sendo a<b<c, é correto afirmar que a) b² + ac = a² + c² b) a² + bc = b² + c² c) a² - bc = b² + c² d) b² - ac = a² + c² Solução: questão muito interessante de geometria do Vestibular UNICAMP 2021, onde aplicaremos a lei dos cossenos  e também conceitos de progressão aritmética. Vamos desenhar nosso triângulo. Sabemos que aº + bº + cº = 180º Sendo a PA = {a1, a2, a3}  , onde a2 = a1 + r   e  a3 = a1 + 2r, temos: a1+a2+a3 = 180º a1 + a1 + r + a1 + 2r = 180º 3a1 + 3r = 180º a1+r = 60º Como a1 + r é o segundo elemento da PA, ou seja, é o ângulo bº, então este vale 60º.  Vamos marcar essa informação em nosso triângulo. Vamos aplicar a lei dos cossenos: b² = a² + c² - 2.a.c. cos(60º) b² = a² + c² - 2.a.c. 1/2 b² = a² + c² - a.c b² + a.c = a² + c²   [ alternativa correta é a letra A ] A...

(UNICAMP 2018) Considere que o quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 𝑐𝑚, e que 𝐶 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐸. Consequentemente, a distância entre os pontos 𝐷 e 𝐸 será igual a Solução: vamos resolver essa questão de geometria por meio da aplicação de um Teorema de Pitágoras.  Repare que AC é a diagonal do quadrado ABCD e que vale √2, calculada pelo próprio Teorema de Pitágoras.  Como o ponto C é o ponto médio do segmento AE, então isto quer dizer que CE é uma outra diagonal, de um outro quadrado também de lado 1, totalmente semelhante ao quadrado ABCD, repare na imagem a seguir: Aplicando o Teorema de Pitágoras, no triâgulo DEE´ teremos: x² = 2² + 1² x² = 5 x = √5 cm  [ alternativa correta é a letra C] Neste momento, é possível visualizar mais outros dois métodos que podem ser utilizados para resolver essa questão e chegar no DE = √5.  Pode ser usada a lei dos cossenos ou também, aplicar a distância entre o...