(Concurso: Professor de Matemática da Educação Básica - Prefeitura de Teresina/PI. 2019 Banca: NUCEPE) A figura a seguir mostra dois hexágonos regulares com dois vértices coincidentes.


O hexágono maior tem área igual a 72√3 cm². Qual a medida do lado do hexágono menor?

a) 2 cm.
b) 4 cm.
c) 2√3 cm.
d) 3√3 cm.
e) 4√3 cm.

Solução: questão muito interessante de geometria plana que envolve conhecimentos sobre o hexágono regular e onde aplicaremos também a lei dos cossenos para encontrar o lado do hexágono menor. Embora seja uma questão principalmente sobre hexágonos, ela é muito rica, com outros temas e aspectos da geometria envolvidos.  Vamos marcar na figura algumas informações importantes.


Sejam X o lado do hexágono maior e Y o lado do hexágono menor, podemos primeiramente obter X, uma vez que sabemos a área do hexágono maior (72√3 cm²).  Também sabemos que a área de um hexágono regular de lado X tem área igual a seis vezes a área do triângulo equilátero de lado X, você pode visualizar isso por meio da figura.

>> Como calcular a área de um triângulo equilátero, caso precise revisar, confira este artigo.

72√3 = 6 (  X² √3 ) /4
12 =  (  X²  ) /4
X² = 12 . 4 
X = 4 √3

Finalmente, podemos encontrar Y aplicando a lei dos cossenos:

x² = y² + y² - 2 . y . y . cos 120º  ;  (cos 120º = -cos 60º)
(4 √3)² = 2y² - 2y² . (-1/2)
16 . 3 = 2y² + y²
16 . 3 = 3 . y²
y² = 16
y = 4

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos de geometria plana.

Um forte abraço e bons estudos.