(Colégio Naval 2020) 



Um geógrafo posicionado numa praia deseja determinar a distância entre duas ilhas e para isso toma como referência os pontos A e B das ilhas como mostra a figura.  Na praia ele marca dois pontos C e D distantes 70 m um do outro.  Usando um medidor de ângulos (teodolito), os ângulos ACB = 38º, BCD = 37º, ADC = 60º e ADB = 53º.  É correto afirmar que a distância entre os pontos A e B é: 

Dados sen 37º = 3/5, sen 75º = 19/20, cos 53º = 3/5 e √2 = 7/5

a) maior do que 70 m e menor do que 75 m.
b) maior do que 75 m e menor do que 80 m.
c) maior do que 80 m e menor do que 85 m.
d) maior do que 85 m e menor do que 90 m.
e) maior do que 90 m e menor do que 95 m.

Solução: questão bem interessante de geometria do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval 2020 com uma aplicação prática da matemática.  Vamos preencher a figura com os ângulos e medidas informados no enunciado e outros que podem ser obtidos a partir deles.



Podemos obter X por meio da lei dos cossenos:  X² = AD² + BD² - 2.AD.BD.cos53º

Mas antes, precisamos encontrar AD e BD.  Podemos fazer isso usando a lei dos senos.

>> No triângulo BCD, temos:

70/seno 30º = BD/seno 37º
70/(1/2) = BD / (3/5)
(1/2)BD = 70 . (3/5)
BD = 2.3.14 = 84 m

>> No triângulo ACD, temos:

70 / seno 45º = AD / seno 75º
70 / (√2/2) = AD / (19/20)
AD = 70 . (19/20) . (2/√2)
AD = 7 . (19) . (5/7)
AD = 19.5 = 95 m


Agora podemos encontrar x

x² = 95² + 84² - 2 . 95 . 84 . (3/5)
x² = 9025 + 84.84 - 6 . 19 . 84
x² = 9025 + 84(84 - 114)
x² = 9025 + 84(-30)
x² = 9025 - 2520
x² = 6505

Sabemos que (80² = 6400) e (85² = 7225).

Logo 80 < X < 85.

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios Resolvidos de Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.

Um forte abraço e bons estudos.