(Colégio Naval 2021) Na figura abaixo, O é o ponto de encontro das bissetrizes do Δ ABC e centro da circunferência σ.  Sabendo que BÔC é o dobro de BÂC e que o PQ = 10√3 cm, qual é o comprimento?

a) (5π) / 6
b) (2π) / 3
c) π/3
d) (20π) / 3
e) (15π) / 6

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval (CPACN/2021). Prova aplicada no dia 02/10/2021.

Questão de geometria muito interessante que engloba o conceito de cevianas (bissetriz de um triângulo), somatório dos ângulos internos de um triângulo,  relações métricas na circunferência (cordas e arcos) e também a lei dos cossenos.  Vamos resolvê-la passo a passo:

Primeiramente, vamos encontrar o valor do ângulo BÔC.  Lembre-se que as bissetrizes estão dividindo seus respectivos ângulos pela metade.


A soma dos ângulos internos do triângulo ABC vale:

2a + 2b + 2c = 180°
2 (a + b + c) = 180°
a + b + c = 90º   [Equação I]

A soma dos ângulos internos do triângulo OBC vale:

a + b + 4c = 180°   [Equação II]

Como nosso objetivo é encontrar o valor de 4c, então vamos isolar (a+b) na equação I:

a + b = 90º - c  

Agora vamos aplicar na Equação II

a + b + 4c = 180°
90º - c  + 4c = 180°
3c = 90°
c = 30°

Como BÔC = 4c , então BÔC = 4 . 30° = 120°.  

Agora, vamos atualizar nossa figura:

Podemos encontrar R aplicando a lei dos cossenos:

(10√3)² = R² + R² - 2 . R . R . cos(120°)

Sabemos que cos(120°) = - cos(60º) = -1/2

100.3 = 2.R² - 2.R² . (-1/2)
300 = 2.R² + R²
300 = 3.R²
R² = 100
R = 10 cm

Novamente, vamos atualizar a figura:

Finalmente, para encontrar o arco , identificado na cor verde na figura acima, basta calcular o comprimento da circunferência inteira e dividir por 3, isto porque a circunferência inteira tem ângulo de 360° e o arco de 120° tem exatamente a terça parte deste ângulo.

Comprimento dessa circunferência inteira = 2π.R = 2π.10 = 20π cm.
Como só queremos 1/3 disto, então temos que o arco   vale 20π/3 cm.
 
Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.