(ENEM 2023) Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1 , C2 e C3, como apresentados na figura.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

A partir da medida do ângulo α, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas. 

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

a) 0° < α < 90°
b) α = 90º
c) 90° < α < 180°
d) α = 180º
e) 180° < α < 360°

Solução: questão de matemática do ENEM 2023,  prova aplicada no dia 12/11/2023.

Nesta questão de geometria plana, por meio das duas figuras do enunciado e da lei dos cossenos, a área da pizza do professor de matemática será maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas,  quando o valor de α estiver no intervalo:   

90° < α < 180°  

A alternativa correta é a letra (c), vamos verificar isso passo a passo na sequência.

Antes disso, analisando as alternativas de resposta, uma vez que α é um ângulo interno de um triângulo, então podemos eliminar as letras (d) e (e).

Também vamos eliminar a alternativa (b) , pois quando α = 90°, ocorre exatamente o fato apresentado na figura I, que nos indica que área (C1) = área (C2) + área (C3).  Neste caso, a área da pizza do professor, é igual a soma das áreas das outras duas pizzas.

Com essa análise rápida, já teríamos eliminado 3 alternativas e ficaríamos com apenas 2, são elas:

a) 0° < α < 90°
c) 90° < α < 180°

Fazendo uma análise visual das duas figuras, a opção correta é a letra (c).  A seguir, vamos utilizar a fórmula da lei dos cossenos para confirmar isso.

Aplicando a lei dos cossenos na figura 2, sendo a, b, c respectivamente as medidas dos diâmetros das pizzas do professor, do amigo 2 e do amigo 1, então temos que

a² = b² + c² - 2.b.c.cosα

Detalhe: b é o diâmetro da pizza do amigo 2 e c é o diâmetro da pizza do amigo 1, essa ordem de escolha tem por objetivo manter uma certa similaridade entre as figuras 1 e 2.

Sabemos que os valores de a, b e c são positivos, entretanto, o cosα pode ser positivo ou negativo, e este é um fator fundamental nessa análise.

>> Primeiramente, o que acontece quando α = 90°?  

Sabemos que o cos 90° = 0, então vamos ter a mesma expressão obtida com o Teorema de Pitágoras na figura 1.

a² = b² + c² - 2.b.c.0
a² = b² + c²

É a mesma expressão obtida na figura 1, que significa que a área da pizza do professor é igual à soma das áreas das outras duas pizzas.

** Ao final dessa resolução, confira um passo a passo que apresenta porque (a² = b² + c²) assegura que área (C1) = área (C2) + área (C3)

>> O que acontece quando cosseno de α for um valor entre 0° e 90°?

Sabemos que nesse intervalo o cosseno de α é positivo, isto quer dizer que a última componente da fórmula da lei dos cossenos -2.b.c cosα vai retornar um valor negativo.  Note que ela tem um -2 multiplicado por 2 valores positivos e, sendo cosα positivo, então o produto entre esses quatro valores será negativo e vai retornar uma quantia que vamos chamar simplesmente de -K.  Atenção, K é um valor positivo, logo -K é um valor negativo.

a² = b² + c² - 2.b.c.cosα
sendo cosα um valor positivo, então - 2.b.c.cosα é um valor negativo, e vamos trocá-lo por -K, para fazer essa análise.
a² = b² + c² - K

O que essa equação está dizendo pra nós?

Que a área da pizza do professor é igual a soma das áreas das outras duas pizzas menos uma quantidade K.  Ou seja, é necessário retirar da soma das áreas das outras pizzas uma certa quantia K para se chegar na área da pizza do professor, isto quer dizer que a pizza do professor tem área menor que a soma das outras duas.

E não é isso que nós queremos nessa questão, vamos ver que a opção correta está no caso a seguir, vamos vê-lo.

>> O que acontece quando cosseno de α for um valor entre 90° e 180°?

Sabemos que nesse intervalo o cosseno de α é negativo, isto quer dizer que a última componente da fórmula da lei dos cossenos -2.b.c cosα vai retornar um valor positivo.   Novamente, note que ela tem um -2 multiplicado por 2 valores positivos e, sendo cos α negativo, então o resultado desse produto será positivo, ou seja, vai retornar uma quantia que vamos chamar simplesmente de +K.

a² = b² + c² - 2.b.c.cosα
sendo cosα um valor negativo, então - 2.b.c.cosα é um valor positivo, e vamos trocá-lo por +K, para fazer essa análise.
a² = b² + c² + K

O que essa equação está dizendo pra nós?

Que a área da pizza do professor é igual a soma das áreas das outras duas pizzas mais uma quantidade K.  Ou seja, é necessário adicionar à soma das áreas das outras pizzas uma certa quantia K para que se alcance a área da pizza do professor, isto quer dizer que a área da pizza do professor é maior que a soma das áreas das outras duas pizzas.

Conclusão, analisando as duas figuras do enunciado e por meio da lei dos cossenos, podemos concluir que a área da pizza do professor será maior do que a soma das outras duas áreas, quando 

90° < α < 180°

Alternativa correta é a letra c).

Obs:  O enunciado nos afirmou que, por meio do Teorema de Pitágoras, na figura I, temos que

área (C1) = área (C2) + área (C3)

Vamos chegar nessa relação passo a passo, aplicando o Teorema de Pitágoras na figura I.

a² = b² + c²

O que vamos fazer é simplesmente trocar a, b, c, respectivamente, por 2R1, 2R2 e 2R3.  Essas medidas representam, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3.  Lembre-se que o diâmetro mede o dobro do raio.

(2R1)2 =  (2R2 )2 + (2R3)2
4R12 =  4R22 + 4R32

O que vamos fazer a seguir é dividir os dois membros da igualdade por 4.

4R12 =  4R22 + 4R32
   4                      4           

R12 =  R22 + R32

No próximo passo, vamos multiplicar os dois lados da igualdade pela constante π.

π . (R12) = (R22 + R32) . π
π R12 = π R22 + π R32 

A área do círculo é igual π x raio², trocando π R12 por área (C1)  e fazendo o mesmo com as demais áreas, chegaremos em:

área (C1) = área (C2) + área (C3)

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.