(CEDERJ 2023.1) Os lados AB e AD do paralelogramo ABCD medem, respectivamente, 8m e 6m, e formam entre si um ângulo de 60°. Nessas condições, suas diagonais AC e BD, medem, em metros, respectivamente:

a) 2√37 e 2√13.
b) √37 e √13.
c) 37 e 13.
d) 74 e 26.

Solução: questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.1,  prova aplicada no dia 27/11/2022.

Para resolvermos essa questão de geometria plana, vamos primeiramente ilustrar o paralelogramo  ABCD.

Agora, vamos calcular a medida de cada uma das suas diagonais.

>> Cálculo da medida da diagonal AC.

Podemos encontrar a medida da diagonal AC utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABC.

AC² = AB² + BC² - 2 . AB . BC . cos 120°
AC² = 8² + 6² - 2 . 8 . 6 . (- cos 60°)
AC² = 64 + 36 - 96 . (- 1/2)
AC² = 100 + 96/2
AC² = 100 + 48
AC² = 148

Fazendo a decomposição em fatores primos do número 148 chegaremos em 
148 = 2 x 2 x 37 = 2² x 37

AC² = 2² x 37
AC = 2√37 metros

Até aqui, já podemos perceber, de acordo com as alternativas de resposta, que a única que poderá ser a correta é a letra (a).  Mesmo assim, vamos calcular a diagonal BD como exercício, vamos novamente utilizar a lei dos cossenos.

>> Cálculo da medida da diagonal BD.

Vamos aplicar a lei dos cossenos no triângulo BAD.

BD² = AB² + AD² - 2 . AB . AD . cos 60°
BD² = 8² + 6² - 2 . 8 . 6 . cos 60°
BD² = 64 + 36 - 96 . (1/2)
BD² = 100 - 48
BD² = 52

Fazendo a decomposição em fatores primos do número 52 chegaremos em 
52 = 2 x 2 x 13 = 2² x 13

BD² = 2² x 13
BD = 2√13 metros

Podemos concluir que as diagonais AC e BD, medem, em metros, respectivamente: 2√37 e 2√13.

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do CEDERJ.

Um forte abraço e bons estudos.