(Colégio Naval - 2019) Um ponto P, pertencente a uma circunferência de raio de 5 unidades, dista 4,8 unidades de um diâmetro dessa circunferência.  Qual a soma das distâncias de P até os extremos desse diâmetro?

 a) 14
b) 12
c) 7
d) 6
e) 5

Solução:  primeiramente, vamos ilustrar o nosso problema.



Perceba que os pontos P, A e B formam um triângulo.  Um detalhe importante é que este triângulo PAB inscrito na circunferência é retângulo, pois um de seus lados é o diâmetro da circunferência.  Podemos então aplicar a seguinte relação métrica no triângulo retângulo, referente a altura relativa a hipotenusa.

a.b = 4,8 . 10 
a.b = 48

Além disso, do Teorema de Pitágoras:

a² + b² = 10² 
a² + b² = 100

Agora vamos utilizar produtos notáveis, sabemos que:

(a+b)² = a² + 2a.b + b² 
(a+b)² = 100 + 2.48
(a+b)² = 100 + 96
(a+b)² = 196
(a+b) = √196
(a+b) = 14

Alternativa correta é a letra a).



Além da primeira resolução, essa questão pode ser resolvida de outras maneiras, vamos ver mais duas. Nesta segunda resolução, encontraremos a soma das distâncias de P até os extremos desse diâmetro encontrando o valor das duas medidas d1 e d2 por meio do uso das relações métricas na circunferência e o teorema de Pitágoras.


Pelas relações métricas na circunferência, sabemos que:

4,8 . 4, 8 = ( 10-x) . (x)
23,04 = 10x - x²
x² - 10x + 23,04 = 0

Podemos encontrar as suas raízes por meio da fórmula de Bhaskara:   
x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = (-10)² - 4 . 1 . 23,04
Δ = 100 - 4 . 1 . 23,04
Δ = 100 - 92,16
Δ = 7,84
√Δ = 2,8

x = (10 ± 2,8) / 2

x1 = 6,4  e  x2 = 3,6

Re-escrevendo a circunferência temos:

Agora é necessário encontrar d1+d2. Podemos encontrar por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras.  Encontraremos d1 = 8 e d2 = 6.  Logo, d1+d2 = 14. A alternativa correta é a letra a).

Na terceira resolução proposta, a título de curiosidade,  veja como seria resolver esta questão usando a Geometria Analítica.

Vamos centrar a circunferência de raio 5 no ponto (0,0).  A equação reduzida da circunferência será x²+y² = 25.



Como o ponto pertencente a circunferência dista 4,8 unidades do diâmetro, vamos considerar o diâmetro sobre o eixo x, então este ponto faz parte da reta y = 4,8.  Veja graficamente:



Podemos encontrar o valor de x, quando y=4,8 aplicando este valor na equação da circunferência.

x² + (4,8)² = 25
x² = 25 - 23,04
x² = 1,96
x = ± 1,4
Veja graficamente:





Agora basta calcular a distância entre os pontos:

P (1,4 ; 4,8) e A (-5;0)  =  d1
P (1,4 ; 4,8) e B ( 5;0)  =  d2


Podemos calcular a distância entre dois pontos por meio da fórmula:

distância entre P1 (x1,y1) e P2 (x2,y2) =  √  [ (x2-x1)² + (y2 - y1)² ]

d1 = √ [(-5 - 1,4)² + (0 - 4,8)²]
d1 = √[40,96 + 23,04]
d1 = √64
d1 = 8
d2 = √ [(5 - 1,4)² + (0 - 4,8)²]
d2 = √ [(3,6)² + (-4,8)²]
d2 = √ [12,96 + 23,04]
d2 = √ 36
d2 = 6

d1 + d2 = 14

Espero que estas resoluções passo a passo tenham te ajudado na compreensão do exercício.

 Um forte abraço e bons estudos.