(ENEM 2019) Um ciclista quer montar um sistema de marchas usando dois discos dentados na parte traseira de sua bicicleta, chamados catracas. A coroa é o disco dentado que é movimentado pelos pedais da bicicleta, sendo que a corrente transmite esse movimento às catracas, que ficam posicionadas na roda traseira da bicicleta. As diferentes marchas ficam definidas pelos diferentes diâmetros das catracas, que são medidos conforme indicação na figura.




O ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro e pretende incluir uma segunda catraca, de modo que, à medida em que a corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% a mais do que avançaria se a corrente passasse pela primeira catraca, a cada volta completa dos pedais.

O valor mais próximo da medida do diâmetro da segunda catraca, em centímetro e com uma casa decimal, é

A 2,3.
B 3,5.
C 4,7.
D 5,3.
E 10,5.

Solução:  questão muito interessante sobre comprimento da circunferência.

Sabe-se que o comprimento de uma circunferência é C = α .R , onde α é o ângulo em radianos e R é o raio.   Quando queremos calcular o comprimento de uma volta completa, então α = 2 π e com isso a fórmula fica sendo aquela que aprendemos nos primeiros anos de estudo de matemática. C = 2 π R.

O diâmetro da coroa não foi informado, mas para agilizar e simplificar os cálculos eu vou supor que a coroa tem diâmetro de 35 cm.   Eu sei que isso na prática ficaria muito estranho, mas suponha apenas para facilitar a resolução dos cálculos.

Se a coroa tem raio de 35 cm a cada uma volta completa ela anda C = 2 π 35 = 70 π cm.

 Como ela está conectada com a catraca de 3,5 cm de raio, então a coroa obriga a catraca a andar esse mesmo comprimento.
C = α .R1
70 π =  α . 3,5
α = 20π
α = 10 . 2π

Repare que o ângulo α de valor 20π quer dizer que a catraca deu 10 voltas de 2π.   

O objetivo da questão é encontrar uma nova catraca que ande 50% mais que esta,  quando a coroa der essa mesma uma volta.  Para andar 50% a mais, ela precisa dar 15 voltas, certo?

C = 15. 2π .R2
70 π = 30 π . R2
R2 = 7/3 = 2,3333.
Diâmetro = 2 . R2 = 4,7
Alternativa correta é a letra C.


Curiosidade: sem atribuirmos um valor qualquer para o raio da coroa o problema poderia ser resolvido da seguinte forma. 

A coroa a cada volta andará um comprimento fixo nos dois casos que chamaremos de C.

Caso 1 -  com a catraca de raio de 3,5 cm

C = α .R1
C = α .3,5

Caso 2 com a catraca com raio de R2

C = β . R2    (sabe-se que β = 1,5 α)
C = 1,5α . R2

Podemos igualar

α .3,5 = 1,5α . R2
R2 = 3,5 / 1,5
R2 = 2,333..
Diâmetro 2 = 4,7 cm

Talvez dessa maneira, fique menos palpável o entendimento do que no primeiro caso, onde usamos valores numéricos para exemplificar a situação.

De qualquer forma, deixo as duas resoluções para que você estude por ambas.

 Um forte abraço e bons estudos.