(EPCAR 2019)   Considere as equações:

(I) x² - bx +15 = 0  (b ∈ IR) cujas raízes são os números reais α e β (α < β)
(II) x² + kx + 15 = 0 (k ∈IR)

Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unidades menores do que as raízes da equação (II)

Com base nessas informações, marque a opção correta.

a) b³ - k é um número negativo.
b) O valor absoluto da diferença entre as raízes da equação (I) é 1
c) As raízes da equação (II) NÃO são números primos.
d) α² − β² é um número que é divisor de 8

Solução:  questão muito interessante sobre equações do segundo grau onde vamos utilizar as Relações de Girard.

Sejam α e β duas raízes de uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 :

(α+β)  = -b/a
(α.β)   = c/a

(I) x² - bx +15 = 0  tem como raízes  α e β

(α+β)  = b         
(α.β)   = 15       

(II) x² + kx + 15 = 0 tem como raízes α+8 e β+8

 (α+8+β+8)    =    -k       - >    (α+β) = -k -16                   
(α+8).(β+8)   =   15       - >     α.β + 8α + 8β + 64 = 15

(α+β) = -k -16
α.β + 8 (α + β) = -49

Agora podemos substituir as relações da equação I naquelas que foram obtidas na equação II.

b = -k -16
15 + 8 b = -49

8b = -64
b = -8

 -8 = -k - 16
k = -8

Agora temos que julgar as alternativas da questão:

a) b³ - k é um número negativo.      (-8)³ - 8 = - 512 -8 = -520    [VERDADE]

Alternativa correta é a letra A.

Julgar as alternativas b, c, d poderá consumir um tempo razoável de prova.  Recomendo deixá-las para confirmação no final, caso sobre tempo.   Estudando em casa, como um exercício e com mais tempo disponível,  recomendo também julgar as outras alternativas.

Aproveite e confira exercícios resolvidos sobre equações do segundo grau.

Um forte abraço e bons estudos.