(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos. 

O valor do parâmetro β , que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π. 

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β , de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

A) 1.
B) 2.
C) 4.
D) 5.
E) 8.

Solução:  questão muito interessante sobre funções trigonométricas com uma aplicação prática desta matéria.  O ENEM 2019 veio repleto de questões muito inteligentes, mas, na minha opinião, esta é de longe a mais bem bolada de todas.  Vamos resolvê-la passo a passo.

É preciso estar atento para a exigência do enunciado:  "é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm".

Perceba que em t=0 o pistão está em (-90º) .



O pistão se deslocará no sentido anti-horário.  Para que a altura seja igual a 6 é necessário que o ângulo de inclinação esteja em (30º ou 150º) + k.360º. Isso porque:

h(t) = 4 + 4 sen ( X ) = 6
sen (X) = 2/4
sen (X) = 1/2

Ele começa em -90º e gira no sentido anti-horário. Quando ele alcançar 30º estaremos em h = 6.  Quando ele alcançar 150º estaremos novamente em h=6.  E pela terceira vez ele alcançará h=6 quando o ângulo for de (30° + 360°) =  390º.  Tudo isso tem que acontecer em menos de 4 segundos para que o motor seja considerado de boa potência.

Quem dá a velocidade desse giro é o β.  Quanto maior for β, mais voltas ele dará por segundo.  Precisamos encontrar o tempo para ele dar uma volta completa no requisito proposto no enunciado.

Δθ = θ final - θ inicial
Δθ = 390º - (-90º)
Δθ = 390º +90º
Δθ = 480º

Agora vamos fazer uma regra de três simples:

480º   -   4 segundos
360º   -   x segundos

x = (360.4)/480
x = 3 segundos

Conseguimos literalmente "traduzir" o enunciado para:  "o tempo para dar uma volta completa tem que ser de 3 segundos."

Agora já podemos encontrar β.

Como a altura mínima do pistão está em h(0), teremos uma nova altura mínima dentro de 3 segundos, isso quer dizer h(3) = 0.

h(0) = 0
h(3) = 0   usaremos h(3) para encontrar β.

h(3) = 4 + 4 sen ( β.3/2 - π/2)
     0 = 4 + 4 sen [ (3β - π)/2]
     -4 = 4 sen  [ (3β - π)/2]
      sen  [ (3β - π)/2]  =  -1

Sabemos que o ângulo cujo seno é -1 será o 270º.   Lembre-se que o pistão começou no -90º e após dar uma volta de 360º estará sobre o 270º ou 3π/2 radianos.

Finalmente:

sen  [ (3β - π)/2]  =  sen (3π/2)
(3β - π)/2  =  3π/2
3β - π =  3π
3β =  3π + π
3β =  4π
β =  4π/3
β ≅  4,19

Como o objetivo da questão é :  " o menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β , de forma que o motor a ser construído tenha boa potência", então β =5.

Alternativa correta é a letra D.

Curiosidade:  apliquei essa fórmula no Excel e criei diferentes gráficos baseados em diferentes betas.  Perceba como apenas com betas superiores a 4,2 é que começamos a ter o motor trabalhando na frequência desejada pelas especificações do problema.

Eixo y representa altura em centímetros e o eixo x representa o tempo em segundos.

β =  4  (Não atende)




β =  4,2  (Atende)




β =  5  (Atende)




β =  8  (Atende)
Repare como ele trabalha mais rápido do que quando β =  5




β =  2  (Não atende)
Repare como é lento


Espero que essa resolução passo a passo e os gráficos do Excel tenham te ajudado a compreender essa questão.