(Coordenador Censitário Subárea - IBGE - Censo 2020 / Prova de Reaplicação em Barra do Piraí - RJ) Xavier, Yolanda e Zorba são três amigos e cada um possui uma certa quantia em reais, somando ao todo 200 reais. Se Xavier der 20 reais para Yolanda, ela ficará com o dobro da quantia de Xavier e Zorba ficará com a mesma quantia de Xavier. É correto afirmar que:

(A) inicialmente, Xavier tinha 60 reais;
(B) inicialmente, Yolanda tinha 70 reais;
(C) inicialmente, Zorba tinha 70 reais;
(D) ao final, Xavier e Yolanda ficaram ao todo com 180 reais;
(E) ao final, Zorba e Xavier ficaram ao todo com 100 reais.

Solução:  questão bem interessante que envolve a solução por meio de sistemas lineares.    Percebe-se que neste tipo de problema, a maior dificuldade dos candidatos está na sistematização do problema, ou seja, transformar as informações dadas no enunciado em equações que serão posteriormente resolvidas por meio de um sistema de equações lineares.

Sejam x, y e z, respectivamente, Xavier, Yolanda e Zorba.  Sabe-se inicialmente que:

x + y + z = 200    [ equação 1 ] 

Se Xavier der 20 reais para Yolanda, ela ficará com o dobro da quantia de Xavier e Zorba ficará com a mesma quantia de Xavier.

Retira-se 20 reais de x:    ( x - 20)
Entrega-se 20 reais para y:  ( y + 20)  ::  Agora (y + 20) é  o dobro de ( x - 20 )

(y+20)  = 2  ( x - 20)     [ equação 2 ] 

Zorba ficará com a mesma quantia de Xavier

x - 20 = z  [ equação 3 ]

Estamos diante de um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas:

x + y + z = 200                     [ equação 1 ] 
(y+20)  = 2  ( x - 20)            [ equação 2 ] 
x - 20 = z                              [ equação 3 ]

:: Agora basta isolar y e z nas equações 2 e 3 e aplicar na equação 1.

Equação 2:
(y+20)  = 2  ( x - 20)
(y+20)  = 2x - 40
y = 2x - 60

Equação 3:
z = x-20

Aplicando y e z na equação 1 teremos:

x + y + z = 200
x + (2x - 60) + (x-20) = 200
4x - 80 = 200
4x = 280
x = 280 / 4
x = 70

Com este valor, podemos encontrar y e z:

y = 2x - 60
y = 2 . 70 - 60
y = 140 - 60
y = 80

z = x - 20
z = 70 - 20
z = 50

 Temos que o conjunto solução (x,y,z) = (70, 80, 50).   Atenção, pois estas são as quantidades possuídas por x,y,z inicialmente, ou seja,  antes da doação de Xavier para Yolanda.

Então podemos afirmar que:

Inicialmente      Ao final
X = 70 X = 50
Y = 80 Y = 100
Z = 50 Z = 50

Agora podemos julgar as alternativas da questão:

(A) inicialmente, Xavier tinha 60 reais;   FALSA
(B) inicialmente, Yolanda tinha 70 reais;  FALSA
(C) inicialmente, Zorba tinha 70 reais;    FALSA
(D) ao final, Xavier e Yolanda ficaram ao todo com 180 reais;   FALSA
(E) ao final, Zorba e Xavier ficaram ao todo com 100 reais.   VERDADEIRA


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Um forte abraço e bons estudos.