(Concurso: Escriturário do Banco do Brasil 2015.   Banca: Fundação Cesgranrio) Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no investimento. A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo?

(A) 7,40% a 7,89%
(B) 8,40% a 8,89%
(C) 6,40% a 6,89%
(D) 6,90% a 7,39%
(E) 7,90% a 8,39%                     Dado:   √76 = 8,7


Solução:  questão muito interessante sobre juros compostos que envolve também a resolução de uma equação do segundo grau.

Caso você não tenha estudo ainda os juros compostos, recomendo iniciar por este artigo:


Voltando a resolução.  A fórmula dos juros compostos é:

M = C ( 1+i) n

Nos primeiros seis meses ele aplicou 50.000, logo, o montante dessa aplicação, após o primeiro rendimento semestral, será:

M = 50 000 ( 1 + i ) 1
M = 50 000 ( 1 + i )
M = 50 000 + 50 000 i

Daí o investidor vai lá e saca R$ 20.000,00.

M = 50 000 + 50 000i - 20 000
M = 30 000 + 50 000i

Agora ele irá capitalizar esse valor por mais um período de seis meses, e este valor alcançará 36 mil reais. Usaremos novamente a fórmula dos juros compostos, onde:

n = 1
C = 30 000 + 50 000 i
M = 36 000

M = C ( 1+i) n
36 000 = (30 000 + 50 000i)   ( 1 + i ) 1
36 000 = 30 000 + 30 000 i + 50 000i + 50 000i² 
50 000 i² + 80 000 i  -  6 000 = 0
50 i² + 80 i - 6 = 0

Chegamos a uma equação do segundo grau, e podemos resolvê-la pela fórmula de Bhaskara.

Seja uma equação do segundo grau  ax² + bx + c = 0  com a, b e c coeficientes reais, podemos encontrar as suas raízes por meio da fórmula:   x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac.

No caso é só considerar o "i" como sendo um "x".

a = 50
b = 80
c = -6

i = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = b² - 4ac
Δ = (80)² - 4 . (50) . (-6)
Δ = 6400 + 1200
Δ = 7600
√Δ = √7600   

Essa raiz não é exata, mas lembre-se que o problema nos deu a seguinte informação:

Dado:   √76 = 8,7

Vamos usar essa relação para calcular √7600.   Aplicando propriedades de potência:

√(7600)  =  √(76 x 100) = √76 x √100 =  8,7 x 10 = 87

Logo, √Δ = 87

i = ( -80 ± 87  ) / 2.(50)
i = (-80 ± 87) / 100

i1 = (-80 + 87) / 100 = 7 / 100 = 7 %
i2 = (-80 - 87) / 100 = -167/100 = -167%  [este valor negativo deve ser desprezado, pois o capital cresceu]

Logo, a taxa é de 7% ao semestre.

 Alternativa correta é a letra D.



>>Vamos fazer uma prova real com os valores que agora já conhecemos.

Aplicou R$ 50.000,00 e em seis meses rendeu 7%, então, o montante final será de:

M = 50.000 ( 1+0,07)1 = 50.000 (1,07) = R$ 53.500,00

Daí o investidor saca R$ 20.000 e o valor investido diminui para R$ 33.500,00

Este valor ficará aplicado por mais um período de seis meses a uma taxa de 7%

M = 33.500 ( 1+ 0,07)1 = 33.500 (1,07) = 35.845,00

Note que este valor está muito próximo de R$ 36.000,00, ele não está exato, pois durante os cálculos, aproximamos √76 = 8,7.

Com uma planilha eletrônica, usando valores exatos, encontraríamos 7,17798% de taxa semestral ao invés de 7% ao ano.  Usando a taxa exata, os valores seriam precisos.


Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado a compreender esta questão. Aproveite e confira também:

>>  Exercícios Resolvidos sobre Juros Compostos.

Um forte abraço e bons estudos.