(Vestibular Fuvest 2020) A função E de Euler determina, para cada número natural n, a quantidade de números naturais menores do que n cujo máximo divisor comum com n é igual a 1. Por exemplo, E(6) = 2 pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de E(n), para n de 20 a 25?

(A) 19

(B) 20

(C) 22

(D) 24

(E) 25

Solução:  questão muito interessante de raciocínio lógico.  O próprio enunciado da questão da Fuvest 2020 já define para nós o mecanismo da função E(n). 

Repare que a função E(n) terá os maiores valores quando n for um elemento do conjunto dos números primos.  Isso ocorre porque são exatamente os números primos que vão gerar MDC igual a 1 com todos os números naturais menores que eles.

Vejamos uma lista de números primos menores que 25:  são eles 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Por exemplo, vamos prestar atenção no que acontece quando n = 7.

E(7) = 6, 
Pois o MDC entre  
7 e 6 = 1
7 e 5 = 1
7 e 4 = 1
7 e 3 = 1
7 e 2 = 1
7 e 1 = 1

Repare também que quando n é um número primo, o valor de E(n) será igual ao próprio n menos 1.  Ou seja, matematicamente falando E(n) = n - 1. 

Se n = 7, então E(7) = 6
Se n = 11, então E(11) = 10
Se n = 13, então E(13) = 12    ( e assim sucessivamente ...)

O objetivo da questão é encontrar o valor máximo de E(n), para n de 20 a 25?

Entre 20 e 25 devemos buscar o maior número primo, pois é ele quem vai nos dar o maior E(n)
Este número é o 23 e quando n = 23 temos que E (23) = 23-1 = 22 (gabarito é letra C)

Aproveite e confira uma lista de exercícios de MMC e MDC.

Um forte abraço e bons estudos.