(EsPCEx - 2019) Uma esfera de raio 10 cm está inscrita em um cone equilátero. O volume desse cone, em cm³, é igual a

[A] 1000π. [B] 1500π. [C] 2000π. [D] 2500π. [E] 3000π.

Solução: vamos resolver passo a passo essa questão de geometria espacial da Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) sobre inscrição e circunscrição de sólidos geométricos.  Em primeiro lugar, devemos ter em mente que um cone equilátero é aquele na qual a sua geratriz vale duas vezes o seu raio, sendo assim, a sua vista frontal acaba formando um triângulo equilátero.

Outro detalhe importante é que todos os três ângulos internos são iguais a 60º. O raio da esfera (r) vale 10 cm e com ele podemos encontrar o raio (R) do cone, repare na figura a seguir:



tg 30º = r / R
√3/3 = 10 /  R
R √3 = 30
R = (30 / √3) * (√3 / √3)
R = (30√3) / 3
R = 10√3 cm 

Agora podemos iniciar o cálculo do volume do Cone.  

Vc = (1/3) x Área da Base x altura
Vc = (1/3) x π x R² x h

Podemos obter a altura deste cone aplicando o Teorema de Pitágoras.
h² + R² = (2R)²
h² = 4R² - R²
h² = 3 R²
h = R √3
h = 10 . √3 . √3
h = 30 cm    

Vc = (1/3) x π x (10√3) ² x 30 cm³
Vc = (1/3) x π x 100 x 3 x 30 cm³
Vc = 3000 π cm³ [ Alternativa correta é a letra E ]

Repare que resolvemos essa questão de geometria espacial utilizando muito mais a geometria plana, um bom exemplo de que é importante estudá-las em conjunto.   Está estudando geometria espacial? Então, aproveite e confira uma bateria de questões sobre geometria espacial.

Um forte abraço e bons estudos.