(CEDERJ 2019.1) A sequência ln(2), ln(4), ln(8),....,ln(2n ),... é uma

(A) PA (Progressão Aritmética) de razão 2.
(B) PG (Progressão Geométrica) de razão 2.
(C) PA (Progressão Aritmética) de razão ln(2).
(D) PG (Progressão Geométrica) de razão ln(2).

Solução: nesta questão sobre progressões aritméticas e geométricas do Vestibular CEDERJ 2019.1, vamos organizar os termos para identificar se a sequência dada é uma PA ou uma PG.

Atenção para ln que é o logaritmo natural, ou neperiano (log e).  Saiba mais aqui.

Vamos escrever a progressão:

ln(2), ln(4), ln(8),....,ln(2n )

Como são logaritmos, podemos aplicar a propriedade  loge2n = n . loge2

Reescrevendo a progressão:

ln(2), ln(2)², ln(2)³,....,ln(2n )

1.ln(2), 2.ln(2), 3.ln(2),....,n. ln(2 )

Visualmente podemos concluir que esta é uma progressão aritmética de razão igual a ln(2).  [Correta é a letra C]

Curiosidade 1: por que não é PG?

Se for uma PG, então ao dividirmos a3/a2 e ao dividirmos a2/a1 chegaremos a um resultado igual que é a razão dessa PG, mas nessa sequência isso não acontece, repare só:

3.ln(2) / 2.ln(2) = 3/2

2.ln(2) / 1.ln(2) = 2/1  (os valores são diferentes, logo não está formando PG)

Curiosidade 2: por que é PA?

Raciocínio semelhante ao anterior, só que dessa vez diminuindo a3-a2 teremos a razão da PA, assim como  a2 - a1 terá que dar esse mesmo resultado.

3.ln(2) - 2.ln(2) =   ln(2)

2.ln(2) - 1.ln(2) =   ln(2)

Resultados coerentes com uma PA de 1º termo valendo ln(2)  e a razão também valendo ln(2).

Um forte abraço e bons estudos.