(EsPCEx 2020) Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a

a) (πx³)/3  b) πx³  c) (πx³)/2   d)  (3πx³)/4   e) 2πx³

Solução:  questão muito interessante sobre geometria espacial onde está presente o conceito de sólido de revolução.  Vamos iniciar esboçando o triângulo MNP e a reta r.

A altura deste triângulo é facilmente obtida pela fórmula da altura de um triângulo equilátero que vale [lado. √3]/2.  Como o lado vale x, então a altura vale [x√3]/2.  Vamos agora esboçar a rotação deste triângulo tendo como eixo a reta r.



Ao rotacionarmos este triângulo em torno de r,  repare que o segmento PN irá gerar o cilindro PNP´N´ 
o qual seu raio vale [x√3]/2 e sua altura vale x.  Porém, os segmentos PM e NM irão subtrair deste cilindro os dois cones em branco que eles geram também nesta rotação.  Estes dois cones, que são PP'M e NN'M possuem raio de [x√3]/2 e altura de x/2.

O volume do sólido gerado (VSG) pode ser calculo da seguinte forma:

VSG = Volume do Cilindro PNP'N'  - [ Volume do Cone PP'M]  - [ Volume do Cone NN'M] 

** Os cones PP´M e NN´M possuem volumes iguais, então podemos escrever nossa fórmula como simplesmente:

VSG = Volume do Cilindro PNP'N'  - 2 x [ Volume do Cone PP'M]

Volume do Cilindro = Área da Base x altura = πR²h
Volume do Cone = 1/3 x Área da Base x altura = (1/3) . πR²h

Volume do Cilindro = π ([x√3]/2)² . x = (3/4).π.x³
Volume do Cone = (1/3) . π ([x√3]/2)² . (x/2) = (1/3)πx².(3/4).(x/2) =   (1/8).π.x³

Agora basta calcular

(3/4).π.x³  - 2 . [ (1/8).π.x³ ] 
(3/4).π.x³  -  (1/4) . π.x³ 
2/4 . π.x³
1/2 . π.x³  [Alternativa correta é a letra C]

Aproveite e confira: lista de exercícios resolvidos de geometria espacial.

Um forte abraço e bons estudos.