(EsPCEx 2020) A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água, “t” horas após começar o seu preenchimento, é dada por h(t) = log2 (at² + bt + c), com t ∈ [0,7] , onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros?


[A] 3 horas e 30 minutos [B] 3 horas [C] 2 horas e 30 minutos [D] 2 horas [E] 1 hora e 30 minutos


Solução:  questão muito rica da EsPCEx 2020 que envolve funções logarítmicas, a resolução de sistemas lineares e a obtenção das raízes de uma equação do segundo grau.   Nosso objetivo é encontrar o tempo t, no qual a altura h(t) = log2 (at² + bt + c) é igual a 4.  Note que antes disso, nós precisamos encontrar as constantes a,b e c.  

Repare que o enunciado nos dá 3 alturas deste reservatório em diferentes momentos, vejamos:

>>Inicialmente esse reservatório está vazio   e   ficará cheio ao fim de 7 horas. 
t=0; h(0)=0   e    t=7 ; h(7) = 6

>>Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros.
t=1 ; h(1) = 2

Com estes pontos, já podemos encontrar a,b,c.

h(0) = log2 (a.0² + b.0 + c) = 0
log2 (c) = 0
c = 1

h(1) = log2 (a.1² + b.1 + c) = 2
log2 (a + b + 1) = 2
a + b + 1 = 2²
a + b = 3

h(7) = log2 (a.7² + b.7 + c) = 6
log2 (a.49 + b.7 + 1) = 6
49a + 7b + 1 = 26
49a + 7b = 63

Para encontrar a e b precisamos resolver o sistema linear:

a + b = 3              (equação 1)
49a + 7b = 63      (equação 2)

Vamos isolar b na equação 1 e aplicar em 2.
b = 3 - a 

49a + 7 ( 3-a) = 63
49a + 21 - 7a = 63
42a = 42
a = 1

b = 3-1
b=2

Com a,b,c encontrados, valendo respectivamente, 1, 2, 1  a função logarítmica é igual a:

h(t) = log2 (t² + 2t + 1) 

Agora, basta descobrir o t, para o qual a altura h(t) vale 4.

log2 (t² + 2t + 1) = 4

t² + 2t + 1 = 24
t² + 2t - 15 = 0

Podemos resolver essa equação do segundo grau pelo método de Bhaskara.

t = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = 2² - 4.1.(-15)
Δ = 4 + 60
Δ = 64
√Δ = 8

t = (-2 ± 8) / 2
t1 = 3   e   t2 = -5

O tempo que nos interessa é o positivo, o próprio enunciado limita t ∈ [0,7].  Logo, o tempo transcorrido para que a altura do reservatório atinja 4 metros é o t = 3 horas.  Alternativa correta é a letra B.

Aproveite e confira mais exercícios sobre logaritmos na lista a seguir:

>> Exercícios Resolvidos sobre Logaritmo ( LOG )

Um forte abraço e bons estudos.