(EsPCEx 2020) Os pontos A(3,-2) e C(-1,3) são vértices opostos de um quadrado ABCD. A equação da reta que contem a diagonal BD é 

[A] 5x + 4y -7 = 0. [B] 8x -10y -3 = 0. [C] 8x + 10y -13 = 0. [D] 4x -5y + 3 = 0. [E] 4x + 5y -7 = 0.

Solução:  questão muito interessante de geometria analítica, onde usaremos conceitos como ponto médio, equação de reta e perpendicularidade entre duas retas.  Repare que AC é uma diagonal deste quadrado e que BD é a outra diagonal.  Elas são perpendiculares e se encontram no ponto médio de A e C. Vamos encontrar esse ponto médio.

PM de AC = ( (XA + XC)/2 ; (YA + YC)/2 )
PM de AC = ( 1;1/2 )

A equação da reta que está sobre BD tem que passar pelo ponto (1;1/2) e ser perpendicular à reta que passa por AC, deste modo os coeficientes angulares das retas AC e BD devem respeitar à seguinte relação:

mBD  x  mAC = -1

Vamos encontrar mAC

mAC = Δy/Δx = (y2-y1)/(x2-x1) = [3 - (-2)] / [-1 - 3] 
mAC = - 5/4

Aplicando à relação:

mBD  x  -5/4 = -1
mBD  = 4/5

Agora, para encontrar a equação de reta que passa pela diagonal BD, basta aplicar o ponto (1;1/2) e o coeficiente angular 4/5 na fórmula:  y-y0 = m (x-x0)

y - 1/2 = 4/5 (x -1)
y - 1/2 - 4x/5 + 4/5 = 0
(multiplicaremos todos os elementos por 10)
10y - 5 - 8x + 8 = 0
10y - 8x + 3 = 0
Ao multiplicarmos por -1 todos os elementos chegaremos na equação de reta da opção b, veja:
8x -10y - 3 = 0  [Alternativa correta é a letra B]

Continue estudando geometria analítica com a lista de exercícios a seguir:

>> Lista de Exercícios de Geometria Analítica com Questões de Vestibulares e Concursos

Um forte abraço e bons estudos.