(Fuvest 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.

Sendo x e y  as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y é:





Solução:  questão muito interessante de geometria do vestibular FUVEST 2018, onde utilizaremos a relação dos ângulos inscritos em uma circunferência.


A área total (AT) do círculo é dada por π · R², como R=1, então AT = π.  Para encontrarmos a área da região cinza, precisamos diminuir AT dos dois triângulos delimitados pelos ângulos x e y.  Vamos calcular apenas para o ângulo x, e analogamente, o valor será o mesmo para y.

Área do triângulo delimitado por x, é dada pela soma dos triângulos de ângulos (2x) e (180º-2x)

A = (1/2)·1·1·sen(2x) + (1/2)·1·1·sen(180º - 2x)
A = (1/2)·sen(2x) + (1/2)·sen(2x)
A = sen(2x)

Analogamente, o triângulo com o ângulo y, tem área igual a sen(2y) pelo mesmo raciocínio.

Logo, a área em cinza é dada por π - sen(2x) - sen(2y).  Alternativa correta é a letra B.

Curiosidade: uma outra forma de calcular a área do triângulo com o ângulo x é usando as relações cosseno e seno no triângulo retângulo a seguir:


A área do triângulo superior, que possui o ângulo x, é dada por A=  (1/2)·a·b 

sen x = a/2              cos x = b/2

a = 2·sen x            b = 2·cos x

A=  (1/2) · 2 · sen x · 2 · cos x

A = 2 · sen x · cos x

A = sen 2x   

Analogamente, a área do triângulo com o ângulo y é igual a sen 2y.

Novamente, o resultado da área cinza é  π - sen(2x) - sen(2y).  Alternativa correta é a letra B.


Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios sobre áreas de figuras planas - Resolvidos passo a passo.

Curiosidade: esta relação já foi utilizada para resolver uma questão do ENEM PPL sobre pista circular delimitada por duas circunferências concêntricas.  Saiba mais: 

Um forte abraço e bons estudos.