(UNICAMP 2019) A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos algarismos é igual a

(UNICAMP 2019) A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos algarismos é igual a 

a) 10. b) 12. c) 14. d) 16.

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Solução:  Vamos usar os dígitos xy para representar este número.

Repare que xy quando representado na base decimal terá o seguinte formato:

xy = x.10¹ + y.10⁰

xy = 10x + y

A título de exemplo, o número 46

46 = 10.4 +6 = 40+6 = 46

O enunciado nos indica que o triplo da soma desses algarismos é igual ao próprio número, vamos equcionar isso:

(x+y).3 = 10x + y

3x+3y = 10x + y

7.x = 2.y

Chegamos a essa equação, repare que ao multiplicarmos x por 7, chegaremos no mesmo valor de multiplicarmos y por 2.  Como x e y são números inteiros, a única possibilidade de isto acontecer é quando o x = 2 e o y=7.  Você pode confirmar isso passo a passo no quadro a seguir:

Atribuindo o primeiro valor possível para x, que é 1, vamos ter:

7.1 = 2y

y = 7/2 = 3,5 não serve, pois y tem que ser inteiro e valer no máximo 9.

Já para x = 2 vamos ter

7 . 2 = 2 . y

y = 7

Este valor serve, e vamos verificar no próximo teste que estes são os dois valores para x e y.

Testando x = 3

7 . 3 = 2y

21 = 2y

y = 10,5

Este valor não serve, podemos notar que com x = 3 ou valores superiores, o valor de y vai exceder seu limite que é 9.

Logo, o número procurado é o 27.  E o produto de seus algarismos é 

2 . 7 =  14 

Alternativa correta é a letra c).

Tirando uma prova real:  dado o número 27.

Vamos calcular a soma dos seus algarismos e multiplicar por 3.

2+7 = 9      &       3x9 = 27   (idêntico ao número original)

Aproveite e confira também:  

>> Prova de Matemática 1ª Fase da UNICAMP 2020 Resolvida

Um forte abraço e bons estudos.