(UNICAMP 2019) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑥 + 𝑏. Se a soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a −1, então 𝑝(1) é igual a
(UNICAMP 2019) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑥 + 𝑏. Se a soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a −1, então 𝑝(1) é igual a
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3.
Solução: questão muito interessante do Vestibular UNICAMP 2019 sobre polinômios de terceiro grau.Aplicando p(1) ao polinômio, temos:
p(1) = 1³ + a.1² + 1 + b
p(1) = 1 + a. + 1 + b
p(1) = 2 + a + b
Vamos encontrar a e b, ou então, (a+b) por meio das Relações de Girard para uma equação do terceiro grau.
Seja p(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d
Sejam r1, r2 e r3 as suas raízes, então
r1+r2+r3 = -b/a
r1.r2 + r1.r3 + r2.r3 = c/a
r1.r2.r3 = -d/a
Vamos precisar apenas das equações 1 e 3, e vamos considerar r1+r2 = -1 e r1.r2 = -1 conforme enunciado.
-1 + r3 = -a
-1.r3 = -b
r3 = -a + 1
r3 = b
Igualando:
-a+1 = b
a+b=1
Sendo p(1) = 2 + a + b
p(1) = 2 + 1
p(1) = 3 [ Alternativa correta é a letra D ]
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Equações Polinomiais do 2º e 3º Grau usando as relações de Girard.
Um forte abraço e bons estudos.