(UNICAMP 2019) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑥 + 𝑏. Se a soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a −1, então 𝑝(1) é igual a

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. 

Solução:  questão muito interessante do Vestibular UNICAMP 2019 sobre polinômios de terceiro grau.

Aplicando p(1) ao polinômio, temos:

p(1) = 1³ + a.1² + 1 + b
p(1) = 1 + a. + 1 + b
p(1) = 2 + a + b

Vamos encontrar a e b, ou então, (a+b) por meio das Relações de Girard para uma equação do terceiro grau.

Seja p(x) =  a.x³ + b.x² + c.x + d 
Sejam r1, r2 e r3 as suas raízes, então 

r1+r2+r3 = -b/a
r1.r2 + r1.r3 + r2.r3 = c/a
r1.r2.r3 = -d/a

Vamos precisar apenas das equações 1 e 3, e vamos considerar r1+r2 = -1  e  r1.r2 = -1 conforme enunciado.

-1 + r3 = -a
-1.r3 = -b

r3 = -a + 1
r3 = b

Igualando: 
-a+1 = b
a+b=1

Sendo p(1) = 2 + a + b
p(1) = 2 + 1
p(1) = 3  [ Alternativa correta é a letra D ]

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Equações Polinomiais do 2º e 3º Grau usando as relações de Girard. 

Um forte abraço e bons estudos.