(UFPR 2020) A maior variação de maré do Brasil ocorre na baía de São Marcos, no estado do Maranhão. A diferença entre o nível
mais alto e o nível mais baixo atingidos pela maré pode chegar a 8 metros em algumas épocas do ano. Suponha que
em determinado dia do ano o nível da maré da baía de São Marcos possa ser descrito pela expressão
𝒏(𝒕) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧((𝐭 − 𝟓)𝛑/𝟔) + 𝟒, 𝐜𝐨𝐦 𝒕 ∈ [𝟎, 𝟐𝟒]
sendo 𝒕 o tempo (medido em horas) e 𝒏(𝒕) o nível da maré no instante t (dado em metros). Com base nessas
informações, considere as seguintes afirmativas:
1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia.
2. Às 11 h é atingido o nível mais baixo da maré.
3. Às 5 h é atingido o nível mais alto da maré.
4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo é de 3 metros.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
Solução: questão muito boa da UFPR 2020 sobre ciclo trigonométrico. Vamos realizar a solução dessa questão de uma forma passo a passo. Em primeiro lugar, vamos analisar a função n(t).
Verificando o componente: 𝐬𝐞𝐧((𝐭 − 𝟓)𝛑/𝟔) podemos identificar que a cada hora que passa o ângulo varia 30º (que é o mesmo que 𝛑/𝟔). Dessa forma, ao esboçarmos o ciclo trigonométrico, vamos dividi-lo em partes de 30º.
Outro ponto importante é que a função n(t) atingirá seu valor máximo quando 𝐬𝐞𝐧((𝐭 − 𝟓)𝛑/𝟔) assumir o valor máximo, para a função seno, isso vai acontecer sempre que estivermos no ângulo de 90º.
Do mesmo modo, n(t) atingirá seu valor mínimo quando 𝐬𝐞𝐧((𝐭 − 𝟓)𝛑/𝟔) assumir o valor mínimo, para a função seno, isso vai acontecer sempre que estivermos no ângulo de 270º.
Já podemos ilustrar nosso ciclo trigonométrico.
Na figura está marcado em vermelho os ângulos e em azul alguns valores da função seno. Agora, vamos marcar todos os tempos de 0 até 24 sobre os ângulos correspondentes neste mesmo ciclo trigonométrico. Repare que iniciamos em t=0, e o ângulo será o (0-5).30° = -5.30º = -150º. Dele em diante vamos subindo de 30 em 30º.
Agora, podemos julgar as afirmativas:
1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia. VERDADE. Repare na figura, que o máximo acontece quando t=8 ou t=20, portanto duas vezes.
2. Às 11 h é atingido o nível mais baixo da maré. FALSA. O nível mais baixo ocorre com t=2 ou t=14.
3. Às 5 h é atingido o nível mais alto da maré. FALSA. O máximo acontece quando t=8 ou t=20.
4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo é de 3 metros. FALSA, veja no cálculo a seguir que a diferença entre o nível mais alto e o mais baixo é 7-1 = 6
Nível mais alto t=8 e 𝒏(8) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧((8 − 𝟓)𝛑/𝟔) + 𝟒
𝒏(8) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧(𝛑/2) + 𝟒
𝒏(8) = 𝟑 . 1 + 𝟒
𝒏(8) = 7
Nível mais baixo t=14 e 𝒏(14) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧((14 − 𝟓)𝛑/𝟔) + 𝟒
𝒏(14) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧((9)𝛑/𝟔) + 𝟒
𝒏(14) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧( (3)𝛑/2) + 𝟒
𝒏(14) = 𝟑 . -1 + 𝟒
𝒏(14) = -𝟑 + 𝟒
𝒏(14) = 1
Diferença entre nível mais alto e mais baixo é 7-1 = 6.
Portanto, a alternativa correta é a letra a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
