(Colégio Naval 2020) Ao efetuar o cálculo da expressão com potência 4^n - 7^2020 variando n, número natural diferente de zero, e usando um moderno computador, um estudante encontrou diversos números K como resposta. Sem o uso de recurso eletrônico é possível estabelecer quais os algarismos das unidades que ele pode ter encontrado para o módulo de K. Ao efetuar a multiplicação de todos os algarismos das unidades possíveis para o módulo de K obtém - se produto igual a:

(Colégio Naval 2020) Ao efetuar o cálculo da expressão com potência 4ⁿ - 7²⁰²⁰ variando n, número natural diferente de zero, e usando um moderno computador, um estudante encontrou diversos números K como resposta.  Sem o uso de recurso eletrônico é possível estabelecer quais os algarismos das unidades que ele pode ter encontrado para o módulo de K.  Ao efetuar a multiplicação de todos os algarismos das unidades possíveis para o módulo de K obtém - se produto igual a:

a) 15
b) 36
c) 84
d) 105
e) 135

Solução: para resolver esta questão do Colégio Naval 2020, primeiramente, vamos analisar as potências de 7 em busca de padrões de repetição.

7¹ = 7

7² = 49
7³ = 343
7⁴ = 2401

7⁵ =  (AB....GH)7 
7⁶   =(CD....YZ)9  

Perceba que o 7 elevado a um múltiplo de 4 sempre terá como resultado um número com algarismo das unidades igual a 1.  Como o 7 está elevado a 2020 que é um múltiplo de 4, então, temos que:

7²⁰²⁰ = (EF.......LMN)1

Até agora, tudo que sabemos sobre o 7²⁰²⁰ é que é um número enorme e seu último dígito é 1.

Fazendo a mesma análise para as potências de base 4.

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

Perceba que 4ⁿ, com n natural diferente de zero, sempre resultará em números com algarismos das unidades iguais a 4 ou 6.

O estudante encontrou diversos K = 4ⁿ - 7²⁰²⁰, embora não saibamos quais são esses números, temos informação suficiente para responder a questão que está interessada apenas nos algarismos das unidades dos diferentes K encontrados.  

Podemos visualizar dois casos distintos, sejam eles:

* 4ⁿ  < 7²⁰²⁰

|K| = (número de final 4)   -  (número de final 1) =  número de final 7

|K| = (número de final 6)   -  (número de final 1) = número de final 5

* 4ⁿ  > 7²⁰²⁰

|K| = (número de final 4)   -  (número de final 1) =  número de final 3

|K| = (número de final 6)   -  (número de final 1) = número de final 5

Os vários números K encontrados têm algarismos das unidades iguais a 3, 5 e 7.

Finalmente: 3 x 5 x 7 = 105.

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões do Colégio Naval resolvidas.

Um forte abraço e bons estudos.