(Colégio Naval 2020) Ao efetuar o cálculo da expressão com potência 4^n - 7^2020 variando n, número natural diferente de zero, e usando um moderno computador, um estudante encontrou diversos números K como resposta. Sem o uso de recurso eletrônico é possível estabelecer quais os algarismos das unidades que ele pode ter encontrado para o módulo de K. Ao efetuar a multiplicação de todos os algarismos das unidades possíveis para o módulo de K obtém - se produto igual a:
(Colégio Naval 2020) Ao efetuar o cálculo da expressão com potência 4n - 72020 variando n, número natural diferente de zero, e usando um moderno computador, um estudante encontrou diversos números K como resposta. Sem o uso de recurso eletrônico é possível estabelecer quais os algarismos das unidades que ele pode ter encontrado para o módulo de K. Ao efetuar a multiplicação de todos os algarismos das unidades possíveis para o módulo de K obtém - se produto igual a:
a) 15
b) 36
c) 84
d) 105
e) 135
7¹ = 7
7² = 49
7³ = 343
74 = 2401
7³ = 343
74 = 2401
75 = (AB....GH)7
76 =(CD....YZ)9
76 =(CD....YZ)9
Perceba que o 7 elevado a um múltiplo de 4 sempre terá como resultado um número com algarismo das unidades igual a 1. Como o 7 está elevado a 2020 que é um múltiplo de 4, então, temos que:
72020 = (EF.......LMN)1
Até agora, tudo que sabemos sobre o 72020 é que é um número enorme e seu último dígito é 1.
Fazendo a mesma análise para as potências de base 4.
4¹ = 4
4² = 16
4³ = 64
44 = 256
Perceba que 4n, com n natural diferente de zero, sempre resultará em números com algarismos das unidades iguais a 4 ou 6.
O estudante encontrou diversos K = 4n - 72020, embora não saibamos quais são esses números, temos informação suficiente para responder a questão que está interessada apenas nos algarismos das unidades dos diferentes K encontrados.
Podemos visualizar dois casos distintos, sejam eles:
* 4n < 72020
|K| = (número de final 4) - (número de final 1) = número de final 7
|K| = (número de final 6) - (número de final 1) = número de final 5
* 4n > 72020
|K| = (número de final 4) - (número de final 1) = número de final 3
|K| = (número de final 6) - (número de final 1) = número de final 5
Os vários números K encontrados têm algarismos das unidades iguais a 3, 5 e 7.
Finalmente: 3 x 5 x 7 = 105.
Alternativa correta é a letra d).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões do Colégio Naval resolvidas.
Um forte abraço e bons estudos.