(SEEDUC-RJ 2015 - Banca CEPERJ) Sejam, x, y e z números naturais tais que
(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) Sejam, x, y e z números naturais tais que
2x + 4y + 5z = 94
12x + 25y + 22z = 534
O valor da diferença (x-z) é igual a :
a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29
Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro. Banca organizadora CEPERJ, 2015. Questão interessante de sistemas lineares onde temos apenas 2 equações com 3 incógnitas. Atente para o fato de que x, y e z pertencem ao conjunto dos números naturais, detalhe muito importante durante a resolução. Primeiramente, vamos multiplicar a primeira equação por (-6) e somá-la a segunda equação.12x -12x + 25y -24y + 22z -30z = 534 - 564
y - 8z = -30
y = 8z - 30
Como y e z pertencem ao conjunto dos números naturais, então y e z ≥ 0. Isto quer dizer que:
8z - 30 ≥ 0
8z ≥ 30
z, não pode valer 0,1,2 ou 3, no mínimo, z vale 4, pois 8 vezes 4 é 32 e maior que 30.
Quando z vale 4, então y vale 2
Quando z vale 5, então y vale 10
Quando z vale 6, então y vale 18
Esses são alguns possíveis pares ordenados para y e z. Vamos voltar para a equação 1 e encontrar o valor de x. Reforçando: x também é maior ou igual a zero. Repare na equação 1 a seguir:
2x + 4y + 5z = 94
O z não pode ser ímpar, pois não chegaríamos a 94, logo o z só pode valer 4, 6, 8, 10 e assim por diante. Vamos encontrar x primeiramente usando o par (y,z) = (2,4)
2x + 4.2 + 5.4 = 94
2x + 8 + 20 = 94
2x = 94 - 28
2x = 66
x = 33
Se aplicarmos (x=33, y = 2, z=4) na equação II veremos que ela será satisfeita.
Finalmente ( x - z) = 33 - 4 = 29. Alternativa correta é a letra e).
Curiosidade: Se tentássemos encontrar x com o par (y,z) = (18, 6) ou superiores a equação não poderia ser satisfeita no conjunto dos naturais, pois obrigaria x a assumir valor negativo.
Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos de sistemas lineares.
Um forte abraço e bons estudos.
