(ENEM 2020 Reaplicação) O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários.

(ENEM 2020 Reaplicação) O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários.

Disponível em: www.sisgraph.com.br. Acesso em: 29 jan. 2015 (adaptado).

A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das três agentes serem distribuídas nos vagões é

Solução: questão bem interessante de análise combinatória do ENEM 2020 (Reaplicação/PPL) que aborda uma aplicação prática da matemática em situações do cotidiano.  Vamos resolver este problema passo a passo, atribuiremos X para o vagão que possui um agente e 0 para um vagão que não possui agente.  Desse modo, veja a seguir dois exemplos de configurações, uma válida e outra inválida de acordo com o enunciado.

X  0  X  0  0  X   [Válida] 

X  X  0  0  X  0   [Inválida]

Temos que ter em mente sempre a seguinte restrição imposta pelo enunciado: "duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes".

 

O que precisamos fazer para obter a quantidade de configurações de posições válidas?

Atente que teremos sempre três vagões vazios (três zeros) e três preenchidos (3 X), vamos pensar da seguinte forma:

Em relação aos zeros, existem 4 posições possíveis para alocarmos 3 vezes o X.  Logo, essa quantidade de configurações é de C4,3.

Curiosidade:  como o problema tem números pequenos, não é difícil desenharmos manualmente todas essas configurações. X 0 X 0 X 0 X 0 X 0 0 X X 0 0 X 0 X 0 X 0 X 0 X São 4 configurações no total.  A mesma coisa que C4,3 = 4!/3!(4-3)! = 4

Agora, temos que pensar no seguinte: há diferença entre a ordem das agentes dentro de uma mesma configuração?  Repare na situação a seguir:

Júlia    0   Laura   0  Luiza   0

Luiza   0   Júlia    0  Laura   0

Existe sim, é notório que há uma diferença na ordem das agentes, e se a ordem importa, usaremos a fórmula do arranjo, de 3 agentes em 3 vagas.  A3,3 = 3! / (3-3)! = 3! /(0!) = 3! / 1 = 3!

Finalmente temos que multiplicar:  C4,3 x 3!

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões resolvidas de análise combinatória.

Um forte abraço e bons estudos.