(UERJ 2019) O Tangram é um quebra-cabeça chinês que contém sete peças: um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos retângulos isósceles. Na figura, o quadrado ABCD é formado com as peças de um Tangram.


Observe os seguintes componentes da figura: 

• NP – lado do quadrado; 

• AM – lado do paralelogramo; 

• CDR e ADR – triângulos congruentes, bem como CNP e RST. 

A razão entre a área do trapézio AMNP e a área do quadrado ABCD equivale a:

a) 3/32

b) 5/32

c) 3/16

d) 5/16

Solução: questão muito interessante do Vestibular UERJ 2019 de geometria plana que envolve o entendimento e cálculo de áreas de diferentes figuras geométricas.

Vamos considerar o lado do quadrado ABCD valendo L e com isso teremos as seguintes medidas em nosso Tangram.



No bloco em azul a seguir, explico como encontramos as medidas marcadas na figura:

Como o lado do quadrado ABCD vale L, então a sua diagonal vale L√2.

Os segmentos SR, RT, PN e PC são iguais ao lado do quadrado RPNT, logo, temos as seguintes igualdades:

(L√2)/2 = RP + PC

Como eles são iguais, então o lado RP do quadrado RPNT valerá: 

2 RP = (L√2)/2
RP = (L√2)/4       

(RP = PN = NT = TR)

Além disso, temos que 

(L√2)/2 = AS + SR
(L√2)/2 = AS + (L√2)/4
AS =  (L√2)/2 - (L√2)/4
AS = (L√2)/4


Como AS = MT, então só nos resta encontrar a medida X.   Porém, essa medida não será necessária daqui pra frente, pois já temos elementos suficientes para calcularmos a área do trapézio e do quadrado em função de L. Por curiosidade: podemos encontrar essa medida usando a semelhança entre os triângulos da figura, se escolhermos os triângulos NPC ~ CRD vamos perceber que X vale a metade de L, ou seja, X = L/2.


Finalmente, basta calcular área do trapézio AMNP e dividir pela área do quadrado ABCD.

Re-lembrando: 

Área do trapézio = [ (Base maior + base menor) x altura ] / 2
Área do quadrado = lado²


Área do trapézio AMNP

[ 3/4 L √2 + 1/2 L √2 ] x 1/4 .  L √2 x 1/2

5/4 L √2 x L√2 x 1/8

L² . 2 . 5/32

L² . 5 / 16


Área de ABCD = L²


Finalmente, a razão da área de AMNP pela área de ABCD é:

  5  . L²
16           =   5/16
       L²


Alternativa correta é a letra d).


Curiosidade: esta é a figura com o valor da medida X substituído por L/2.  


Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.